Sejam , e uma base ordenada de . A soma dos quadrados das entradas de é:
(a) 10 .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma matriz e uma base ordenada composta por quatro matrizes . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de na base e depois somar os quadrados dessas coordenadas. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de bases de espaços vetoriais e como representar uma matriz em relação a uma base específica.
Passo 2
A base é formada pelas seguintes matrizes:
Queremos expressar como uma combinação linear dessas matrizes:
onde são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos escrever as equações correspondentes aos elementos de :
[
c_1
c_2
c_3
c_4
]
Isso resulta no sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema de baixo para cima:
A última equação nos dá diretamente .
Substituindo na terceira equação: .
Substituindo e na segunda equação: .
Por fim, substituindo na primeira equação: .
Passo 5
Agora temos as coordenadas de [A]beta = -1 -1 -1 4 na base :
Passo 6
Vamos calcular a soma dos quadrados das entradas de (-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 + 4^2 = 1 + 1 + 1 + 16 = 19 :