Sejam A=[ll1 & 2 3 & 4], e beta=[ll1 & 0 0 & 0],[ll1 & 1 0 & 0],[ll1 & 1 1 & 0],[ll1 & 1 1 & 1] uma base ordenada de M(2,2). A soma dos quadrados das entradas de [A]beta é:
(a) 10 .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma matriz 1 & 2 3 & 4 e uma base ordenada composta por quatro matrizes . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de na base e depois somar os quadrados dessas coordenadas. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de bases de espaços vetoriais e como representar uma matriz em relação a uma base específica.

Passo 2

A base B1 = 1 & 0 0 & 0, B2 = 1 & 1 0 & 0, B3 = 1 & 1 1 & 0, B4 = 1 & 1 1 & 1 é formada pelas seguintes matrizes:
A = c1 B1 + c2 B2 + c3 B3 + c4 B4
Queremos expressar como uma combinação linear dessas matrizes:
onde são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos escrever as equações correspondentes aos elementos de 1 & 2 3 & 4 = c1 1 & 0 0 & 0 + c2 1 & 1 0 & 0 + c3 1 & 1 1 & 0 + c4 1 & 1 1 & 1 :
[
c1 + c2 + c3 + c4 = 1 0c1 + c2 + c3 + c4 = 2 0c1 + 0c2 + c3 + c4 = 3 0c1 + 0c2 + 0c3 + c4 = 4

c_1
  • c_2
  • c_3
  • c_4
    ]
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema de baixo para cima:
  1. A última equação nos dá diretamente .
  2. Substituindo na terceira equação: .
  3. Substituindo e na segunda equação: .
  4. Por fim, substituindo na primeira equação: .

Passo 5

Agora temos as coordenadas de [A]beta = -1 -1 -1 4 na base :

Passo 6

Vamos calcular a soma dos quadrados das entradas de (-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 + 4^2 = 1 + 1 + 1 + 16 = 19 :

Resposta

19

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