Nos itens a seguir são dados um espaço vetorial
e um subconjunto
de
. Verifique se
é um subespaço vetorial de
.
©
.
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Passo 1
Beleza! Vamos analisar o exercício juntos. A gente tem um espaço vetorial
e um subconjunto
. Nosso objetivo é verificar se
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais condições ele precisa satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto
é um subespaço de
se ele satisfaz três condições básicas:
- Contém o vetor nulo: O vetor
deve estar em . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação escalar: Se
está em e é um escalar qualquer, então também deve estar em .
Vamos verificar essas condições uma a uma para
.
Passo 3
1. Verificando se
contém o vetor nulo:
O vetor nulo em
é
. Vamos ver se ele está em
:
Então,
. A primeira condição está satisfeita.
Passo 4
2. Verificando se
é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
:
Agora, somamos esses vetores:
Para que
esteja em
, precisamos que:
Como
e
, a soma
também será maior ou igual a zero. Portanto,
, e a segunda condição está satisfeita.
Passo 5
3. Verificando se
é fechado sob multiplicação escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
:
E um escalar qualquer
.
Multiplicamos o vetor pelo escalar:
Para que
esteja em
, precisamos que:
Vamos analisar os casos possíveis para
:
- Se
: Então, porque . - Se
: , então está ok. - Se
: Nesse caso, . A desigualdade só será verdadeira se .
Isso significa que, se escolhermos um escalar negativo
e um vetor
com
, o vetor resultante
não estará mais em
. Logo,
não está fechado sob multiplicação escalar para todos os escalares
.
Resposta
Como
não satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço vetorial (especificamente, não é fechado sob multiplicação escalar para todos os escalares), concluímos que
não é um subespaço vetorial de
.