Nos itens a seguir são dados um espaço vetorial V e um subconjunto W de V. Verifique se W é um subespaço vetorial de V.
© V=(R^2,+, cdot) ; W=(x, y) in R^2 / x >= 0.

Passo 1

Beleza! Vamos analisar o exercício juntos. A gente tem um espaço vetorial e um subconjunto . Nosso objetivo é verificar se é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais condições ele precisa satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se ele satisfaz três condições básicas:
  1. Contém o vetor nulo: O vetor deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação escalar: Se está em e é um escalar qualquer, então também deve estar em .
Vamos verificar essas condições uma a uma para .

Passo 3

1. Verificando se 0 >= 0 (Verdadeiro) contém o vetor nulo:
O vetor nulo em é . Vamos ver se ele está em :
Então, . A primeira condição está satisfeita.

Passo 4

2. Verificando se u = (x1, y1) com x1 >= 0 é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em v = (x2, y2) com x2 >= 0 :
u + v = (x1 + x2, y1 + y2)
x1 + x2 >= 0
Agora, somamos esses vetores:
Para que esteja em , precisamos que:
Como e , a soma também será maior ou igual a zero. Portanto, , e a segunda condição está satisfeita.

Passo 5

3. Verificando se u = (x, y) com x >= 0 é fechado sob multiplicação escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em cu = (c x, c y) :
c x >= 0
E um escalar qualquer .
Multiplicamos o vetor pelo escalar:
Para que esteja em , precisamos que:
Vamos analisar os casos possíveis para :
  • Se : Então, porque .
  • Se : , então está ok.
  • Se : Nesse caso, . A desigualdade só será verdadeira se .
Isso significa que, se escolhermos um escalar negativo e um vetor com , o vetor resultante não estará mais em . Logo, não está fechado sob multiplicação escalar para todos os escalares .

Resposta

Como não satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço vetorial (especificamente, não é fechado sob multiplicação escalar para todos os escalares), concluímos que não é um subespaço vetorial de .

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