Sejam
e
bases ordenadas de
.
(a) Ache as seguintes matrizes de mudança de base:
, e
.
(a) Ache as seguintes matrizes de mudança de base:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três bases ordenadas de
:
,
e
. A tarefa é encontrar as matrizes de mudança de base
,
e
. Basicamente, queremos descobrir como passar as coordenadas de um sistema de base para outro. Para isso, vamos precisar entender como representar vetores em diferentes bases e como construir a matriz que faz essa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos focar em encontrar a matriz de mudança de base
. Essa matriz transforma as coordenadas de um vetor da base
para a base
.
Passo 3
Para construir
, precisamos expressar cada vetor da base
em termos da base
. A base
é
e a base
é
.
Passo 4
Vamos começar encontrando as coordenadas do vetor
da base
na base
. Queremos encontrar escalares
e
tais que:
Resolvendo isso:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: . Substituindo na primeira:
Da segunda equação:
Então, as coordenadas de
na base
são
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as coordenadas do vetor
da base
na base
. Procuramos
e
tais que:
Resolvendo:
Da primeira equação:
. Substituindo na segunda:
Então, as coordenadas de
na base
são
.
Passo 6
Agora que temos as coordenadas de ambos os vetores da base
na base
, podemos construir a matriz de mudança de base
. Essa matriz terá essas coordenadas como suas colunas:
Passo 7
Para encontrar a matriz
, fazemos o processo inverso: expressamos cada vetor da base
na base
. A base
é
e a base
é
.
Passo 8
Vamos encontrar as coordenadas de
na base
. Como
é a base canônica, as coordenadas são diretamente os próprios componentes:
Então, as coordenadas são
.
Passo 9
Da mesma forma, para o vetor
na base
:
As coordenadas são
.
Passo 10
Agora, montamos a matriz
com essas coordenadas como colunas:
Passo 11
Por último, vamos encontrar
. Isso significa que vamos expressar cada vetor da base
na base
. A base
é
e a base
é
.
Passo 12
Primeiro, encontramos as coordenadas de
na base
. Procuramos
e
tais que:
Resolvendo:
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Então, as coordenadas de
na base
são
.
Passo 13
Agora, vamos encontrar as coordenadas de
na base
. Procuramos
e
tais que:
Resolvendo:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:
Então, as coordenadas de
na base
são
.
Passo 14
Com essas coordenadas, construímos a matriz
:
Resposta
As matrizes de mudança de base são: