Sejam alpha=(1,0),(0,1), beta=(-1,1),(1,1) e gamma=(3,-1),(1,3) bases ordenadas de R^2.
(a) Ache as seguintes matrizes de mudança de base: [I]alpha^beta,[I]beta^alpha, e [I]gamma^beta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três bases ordenadas de : , e . A tarefa é encontrar as matrizes de mudança de base , e . Basicamente, queremos descobrir como passar as coordenadas de um sistema de base para outro. Para isso, vamos precisar entender como representar vetores em diferentes bases e como construir a matriz que faz essa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos focar em encontrar a matriz de mudança de base . Essa matriz transforma as coordenadas de um vetor da base para a base .

Passo 3

Para construir , precisamos expressar cada vetor da base em termos da base . A base é e a base é .

Passo 4

Vamos começar encontrando as coordenadas do vetor (1,0) = a cdot (-1,1) + b cdot (1,1) da base 1 = -a + b 0 = a + b na base 1 = -(-b) + b = b + b = 2b b = 12 a = -12 . Queremos encontrar escalares e tais que:
Resolvendo isso:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: . Substituindo na primeira:
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as coordenadas do vetor (0,1) = c cdot (-1,1) + d cdot (1,1) da base 0 = -c + d 1 = c + d na base 1 = c + c = 2c c = 12 d = 12 . Procuramos e tais que:
Resolvendo:
Da primeira equação: . Substituindo na segunda:
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 6

Agora que temos as coordenadas de ambos os vetores da base [I]alpha^beta = -12 & 12 12 & 12 na base , podemos construir a matriz de mudança de base . Essa matriz terá essas coordenadas como suas colunas:

Passo 7

Para encontrar a matriz , fazemos o processo inverso: expressamos cada vetor da base na base . A base é e a base é .

Passo 8

Vamos encontrar as coordenadas de (-1,1) = -1 cdot (1,0) + 1 cdot (0,1) na base . Como é a base canônica, as coordenadas são diretamente os próprios componentes:
Então, as coordenadas são .

Passo 9

Da mesma forma, para o vetor (1,1) = 1 cdot (1,0) + 1 cdot (0,1) na base :
As coordenadas são .

Passo 10

Agora, montamos a matriz [I]beta^alpha = -1 & 1 1 & 1 com essas coordenadas como colunas:

Passo 11

Por último, vamos encontrar . Isso significa que vamos expressar cada vetor da base na base . A base é e a base é .

Passo 12

Primeiro, encontramos as coordenadas de (3,-1) = e cdot (-1,1) + f cdot (1,1) na base 3 = -e + f -1 = e + f . Procuramos 3 + (-1) = (-e + f) + (e + f) 2 = 2f f = 1 e -1 = e + 1 e = -2 tais que:
Resolvendo:
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 13

Agora, vamos encontrar as coordenadas de (1,3) = g cdot (-1,1) + h cdot (1,1) na base 1 = -g + h 3 = g + h . Procuramos 3 - 1 = (g + h) - (-g + h) 2 = 2g g = 1 e 1 = -1 + h h = 2 tais que:
Resolvendo:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 14

Com essas coordenadas, construímos a matriz [I]gamma^beta = -2 & 1 1 & 2 :

Resposta

As matrizes de mudança de base são:
[I]alpha^beta = -12 & 12 12 & 12 , [I]beta^alpha = -1 & 1 1 & 1 , [I]gamma^beta = -2 & 1 1 & 2

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