Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de ? Justifique sua resposta.
© é racional .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se o conjunto é é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais. Precisamos checar três coisas: se não é vazio, se é fechado sob adição de vetores e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se não é vazio. O vetor zero em é . Aqui, , que é racional. Então, o vetor zero está em . Isso confirma que não é vazio.

Passo 3

Agora, vamos checar se é fechado sob adição. Se pegarmos dois vetores em , digamos e , onde e são racionais, a soma . Como a soma de dois números racionais é racional, o primeiro componente de também é racional. Portanto, é fechado sob adição.

Passo 4

Por fim, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Pegue um vetor em e um escalar . A multiplicação . O problema aqui é que, se for irracional e for racional, então será irracional. Isso faz com que o primeiro componente de não seja mais racional, ou seja, não está mais em .

Resposta

Como não é fechado sob multiplicação por escalar, não é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Nos itens a seguir são dados um espaço vetorial e um subconjunto de . Verifique se é um subespaço vetorial de .
(d) .
Seja o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem . Qual dos seguintes conjuntos de matrizes em são subespaços vetoriais de ? Justifique sua resposta.
(d) Todas as matrizes de tais que .