Quais dos seguintes conjuntos
são subespaços vetoriais de
? Justifique sua resposta.
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é racional
.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais. Precisamos checar três coisas: se
não é vazio, se é fechado sob adição de vetores e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
não é vazio. O vetor zero em
é
. Aqui,
, que é racional. Então, o vetor zero está em
. Isso confirma que
não é vazio.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Se pegarmos dois vetores em
, digamos
e
, onde
e
são racionais, a soma
. Como a soma de dois números racionais é racional, o primeiro componente de
também é racional. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Pegue um vetor
em
e um escalar
. A multiplicação
. O problema aqui é que, se
for irracional e
for racional, então
será irracional. Isso faz com que o primeiro componente de
não seja mais racional, ou seja,
não está mais em
.
Resposta
Como
não é fechado sob multiplicação por escalar,
não é um subespaço vetorial de
.