Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os sistemas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. A gente vai mexer com matrizes e fazer umas operações para chegar numa solução. Precisamos entender bem como transformar a matriz ampliada do sistema em uma forma mais simples para achar os valores das incógnitas.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz ampliada do sistema. Isso significa colocar os coeficientes das variáveis e os termos constantes em uma tabela. Nosso sistema é:
Agora, o objetivo do Gauss-Jordan é transformar essa matriz numa forma escalonada reduzida, onde temos 1’s na diagonal principal e 0’s abaixo e acima deles. Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna.
Para isso, vamos subtrair a primeira linha da segunda, terceira e quarta linhas:
Agora, vamos focar na segunda coluna que já está com zeros, então passamos para a terceira coluna. Queremos ter um 1 como pivô. Já temos um 1 na segunda linha, terceira coluna, que é ótimo.
Vamos usar esse 1 para eliminar o 1 na quarta linha, terceira coluna. Para isso, subtraímos a segunda linha da quarta linha:
Observamos que a terceira e a quarta linhas são iguais. Isso significa que uma delas não traz informação nova para o sistema, então podemos descartá-la. Vamos remover a quarta linha para simplificar.
Agora, vamos organizar a matriz para deixar os pivôs alinhados. Já temos 1’s nas posições (1,1), (2,3) e (3,5). Vamos reescrever as equações correspondentes:
Passo 7
Vamos resolver a partir da última equação. Da terceira equação, temos:
x5 = -x6
Agora, substituímos esse valor na segunda equação:
x3 + 2x6 = 0 implies x3 = -2x6
Passo 8
Com os valores de x1 + 2x2 - 3x4 + x5 = 0 e x1 + 2x2 - 3x4 - x6 = 0 implies x1 = -2x2 + 3x4 + x6 em mãos, vamos para a primeira equação:
Substituindo :
Passo 9
Agora, observamos que temos 6 variáveis e apenas 3 equações independentes. Isso significa que temos 3 variáveis livres. Vamos escolher x1 = -2x2 + 3x4 + x6 x2 = x2 x3 = -2x6 x4 = x4 x5 = -x6 x6 = x6 , e como livres.
Então, podemos escrever as soluções em termos dessas variáveis: