Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os sistemas:
lx1+2 x2-3 x4+x5=0 x1+2 x2+x3-3 x4+x5+2 x6=0 x1+2 x2-3 x4+2 x5+x6=0 3 x1+6 x2+x3-9 x4+4 x5+3 x6=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. A gente vai mexer com matrizes e fazer umas operações para chegar numa solução. Precisamos entender bem como transformar a matriz ampliada do sistema em uma forma mais simples para achar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz ampliada do sistema. Isso significa colocar os coeficientes das variáveis e os termos constantes em uma tabela. Nosso sistema é:
x1 + 2x2 - 3x4 + x5 = 0 x1 + 2x2 + x3 - 3x4 + x5 + 2x6 = 0 x1 + 2x2 - 3x4 + 2x5 + x6 = 0 3x1 + 6x2 + x3 - 9x4 + 4x5 + 3x6 = 0
Então, a matriz ampliada fica:
1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & | & 0 1 & 2 & 1 & -3 & 1 & 2 & | & 0 1 & 2 & 0 & -3 & 2 & 1 & | & 0 3 & 6 & 1 & -9 & 4 & 3 & | & 0

Passo 3

Agora, o objetivo do Gauss-Jordan é transformar essa matriz numa forma escalonada reduzida, onde temos 1’s na diagonal principal e 0’s abaixo e acima deles. Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna.
Para isso, vamos subtrair a primeira linha da segunda, terceira e quarta linhas:
Linha 2 = Linha 2 - Linha 1:
(1-1) (2-2) (1-0) (-3 - (-3)) (1-1) (2-0) | 0-0
0 0 1 0 0 2 | 0
Linha 3 = Linha 3 - Linha 1:
(1-1) (2-2) (0-0) (-3 - (-3)) (2-1) (1-0) | 0-0
0 0 0 0 1 1 | 0
Linha 4 = Linha 4 - 3 \times Linha 1:
(3-3) (6-6) (1-0) (-9 - (-9)) (4-3) (3-0) | 0-0
0 0 1 0 1 3 | 0
Então, a matriz fica assim:
1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & | & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & | & 0

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna que já está com zeros, então passamos para a terceira coluna. Queremos ter um 1 como pivô. Já temos um 1 na segunda linha, terceira coluna, que é ótimo.
Vamos usar esse 1 para eliminar o 1 na quarta linha, terceira coluna. Para isso, subtraímos a segunda linha da quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 - Linha 2:
(0-0) (0-0) (1-1) (0-0) (1-0) (3-2) | 0-0
0 0 0 0 1 1 | 0
Então, a matriz agora fica:
1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & | & 0

Passo 5

Observamos que a terceira e a quarta linhas são iguais. Isso significa que uma delas não traz informação nova para o sistema, então podemos descartá-la. Vamos remover a quarta linha para simplificar.
Após remover a quarta linha, a matriz fica:
1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & | & 0

Passo 6

Agora, vamos organizar a matriz para deixar os pivôs alinhados. Já temos 1’s nas posições (1,1), (2,3) e (3,5). Vamos reescrever as equações correspondentes:

Passo 7

Vamos resolver a partir da última equação. Da terceira equação, temos:
x5 = -x6
Agora, substituímos esse valor na segunda equação:
x3 + 2x6 = 0 implies x3 = -2x6

Passo 8

Com os valores de x1 + 2x2 - 3x4 + x5 = 0 e x1 + 2x2 - 3x4 - x6 = 0 implies x1 = -2x2 + 3x4 + x6 em mãos, vamos para a primeira equação:
Substituindo :

Passo 9

Agora, observamos que temos 6 variáveis e apenas 3 equações independentes. Isso significa que temos 3 variáveis livres. Vamos escolher x1 = -2x2 + 3x4 + x6 x2 = x2 x3 = -2x6 x4 = x4 x5 = -x6 x6 = x6 , e como livres.
Então, podemos escrever as soluções em termos dessas variáveis:

Resposta

A solução geral do sistema é dada por:
x1 = -2x2 + 3x4 + x6 x2 livre x3 = -2x6 x4 livre x5 = -x6 x6 livre
Ou, em forma vetorial:
x1 x2 x3 x4 x5 x6 = x2 -2 1 0 0 0 0 + x4 3 0 0 1 0 0 + x6 1 0 -2 0 -1 1

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