Nos itens a seguir, use identidades trigonométricas apropriadas para demostrar que as funções de F(-infty, infty) dadas são linearmente dependentes.
f1(x)=sen^2(2 x), f2(x)=cos ^2(2 x) e f3(x)=cos (4 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que as funções , e são linearmente dependentes usando identidades trigonométricas. Isso significa que a gente precisa encontrar uma relação entre elas onde uma função pode ser escrita como combinação das outras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante que relaciona o cosseno de cos(4x) = 2cos^2(2x) - 1 com o cosseno de :
Essa identidade vai ser super útil para a gente.

Passo 3

Agora, vamos isolar o 2cos^2(2x) = cos(4x) + 1 na identidade que encontramos:
cos^2(2x) = cos(4x) + 12
Dividindo ambos os lados por 2:
Isso mostra que pode ser escrito em termos de e uma constante.

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para sin^2(2x) = 1 - cos^2(2x) . Sabemos que:
sin^2(2x) = 1 - cos(4x) + 12 = 2 - (cos(4x) + 1)2 = 1 - cos(4x)2
Substituindo a expressão que encontramos para :
Assim, também é uma combinação de e uma constante.

Passo 5

Agora, vamos montar uma combinação linear das funções:
c1f1(x) + c2f2(x) + c3f3(x) = 0
Substituindo as expressões que encontramos:
c1(1 - cos(4x)2) + c2(cos(4x) + 12) + c3cos(4x) = 0
Simplificando:
c1 - c1cos(4x) + c2cos(4x) + c22 + c3cos(4x) = 0

Passo 6

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo c1 + c22 = 0 e -c1 + c22 + c3 = 0 , os coeficientes de c1 + c2 = 0 Rightarrow c2 = -c1 e os termos constantes devem ser iguais a zero:
-c1 + (-c1)2 + c3 = 0 Rightarrow -2c12 + c3 = -c1 + c3 = 0 Rightarrow c3 = c1
Resolvendo o sistema:

Resposta

Encontramos que e . Portanto, existe uma combinação não trivial onde . Isso mostra que as funções são linearmente dependentes.

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Nos itens a seguir, use identidades trigonométricas apropriadas para demostrar que as funções de F(-infty, infty) dadas são linearmente dependentes.
f1(x)=sen^2(12 x), f2(x)=1 e f3(x)=cos (x)
Mostre que se v1, v2, v3 for um conjunto linearmente independente de vetores, então também o são v1, v2 ;v1, v3 ;v2, v3.
Os vetores dados a seguir formam um conjunto linearmente dependente em R^3 com quais valores reais de a?
v1=(a,-12,-12), v2=(-12, a,-12), v3=(-12,-12, a)
Nos itens a seguir, use identidades trigonométricas apropriadas para demostrar que as funções de F(-infty, infty) dadas são linearmente dependentes.
f1(x)=sen(x), f2(x)=sen(3 x) e f3(x)=sen^3(x)