Nos itens a seguir, use identidades trigonométricas apropriadas para demostrar que as funções de
dadas são linearmente dependentes.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que as funções
,
e
são linearmente dependentes usando identidades trigonométricas. Isso significa que a gente precisa encontrar uma relação entre elas onde uma função pode ser escrita como combinação das outras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante que relaciona o cosseno de
com o cosseno de
:
Essa identidade vai ser super útil para a gente.
Passo 3
Agora, vamos isolar o
na identidade que encontramos:
Dividindo ambos os lados por 2:
Isso mostra que
pode ser escrito em termos de
e uma constante.
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para
. Sabemos que:
Substituindo a expressão que encontramos para
:
Assim,
também é uma combinação de
e uma constante.
Passo 5
Agora, vamos montar uma combinação linear das funções:
Substituindo as expressões que encontramos:
Simplificando:
Passo 6
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de
e os termos constantes devem ser iguais a zero:
Resolvendo o sistema:
Resposta
Encontramos que
e
. Portanto, existe uma combinação não trivial onde
. Isso mostra que as funções são linearmente dependentes.
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Nos itens a seguir, use identidades trigonométricas apropriadas para demostrar que as funções de
dadas são linearmente dependentes.
e
Mostre que se
for um conjunto linearmente independente de vetores, então também o são
.
Os vetores dados a seguir formam um conjunto linearmente dependente em
com quais valores reais de
?
Nos itens a seguir, use identidades trigonométricas apropriadas para demostrar que as funções de
dadas são linearmente dependentes.
e