Nos itens a seguir, use identidades trigonométricas apropriadas para demostrar que as funções de
dadas são linearmente dependentes.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que as funções , e são linearmente dependentes no intervalo
. Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas que relacionam essas funções.
Passo 2
Primeiro, é bom lembrar que seno ao cubo pode ser expresso de outra maneira usando uma identidade trigonométrica. A identidade que vamos usar é:
Essa fórmula nos permite escrever em termos de e .
Passo 3
Agora, vamos rearranjar essa identidade para facilitar a demonstração da dependência linear:
Ou seja,
Passo 4
O que acabamos de fazer mostra que existe uma combinação linear das funções
,
e
que resulta na função zero para todo
. Isso significa que essas funções não são todas independentes; pelo menos uma delas pode ser escrita como combinação das outras.
Resposta
Portanto, as funções , e são linearmente dependentes no intervalo
porque satisfazem a relação
para todo
.
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Os vetores dados a seguir formam um conjunto linearmente dependente em
com quais valores reais de
?
Nos itens a seguir, use identidades trigonométricas apropriadas para demostrar que as funções de
dadas são linearmente dependentes.
e
Seja
um vetor não-nulo. O conjunto
de todos os múltiplos de
é um subespaço vetorial de
?
Os polinômios
e
são linearmente independentes?