Os vetores dados a seguir formam um conjunto linearmente dependente em R^3 com quais valores reais de a?
v1=(a,-12,-12), v2=(-12, a,-12), v3=(-12,-12, a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores em e precisa descobrir para quais valores de esses vetores são linearmente dependentes. Para isso, vamos usar o conceito de determinante de matrizes.

Passo 2

Primeiro, montamos uma matriz onde cada coluna é um dos vetores dados:
a & -12 & -12 -12 & a & -12 -12 & -12 & a

Passo 3

Aí, pra saber se os vetores são linearmente dependentes, a gente calcula o determinante dessa matriz. Se o determinante for igual a zero, os vetores são dependentes. Então, vamos calcular:
det a & -12 & -12 -12 & a & -12 -12 & -12 & a = 0

Passo 4

Calculando o determinante:
det &= a cdot det a & -12 -12 & a - (-12) cdot det -12 & -12 -12 & a + (-12) cdot det -12 & a -12 & -12 &= a(a^2 - 14) - (-12)(-a2 - 14) + (-12)(14 + a2) &= a^3 - a4 - a4 - 18 - 18 - a4 &= a^3 - 3a4 - 14

Passo 5

Agora, igualamos o determinante a zero e resolvemos a equação:
a^3 - 3a4 - 14 = 0
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar as frações:
4a^3 - 3a - 1 = 0
Agora, buscamos as raízes dessa equação cúbica. Testando 4(1)^3 - 3(1) - 1 = 4 - 3 - 1 = 0 :
( a - 1 )(4a^2 + 4a + 1) = 0
Então, a = -4 pm raiz16 - 168 = -48 = -12 é uma raiz. Podemos fatorar a equação:
Resolvendo usando a fórmula de Bhaskara:

Resposta

Os valores de que tornam o conjunto de vetores linearmente dependente são e .

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