Os vetores dados a seguir formam um conjunto linearmente dependente em com quais valores reais de ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores em e precisa descobrir para quais valores de esses vetores são linearmente dependentes. Para isso, vamos usar o conceito de determinante de matrizes.
Passo 2
Primeiro, montamos uma matriz onde cada coluna é um dos vetores dados:
Passo 3
Aí, pra saber se os vetores são linearmente dependentes, a gente calcula o determinante dessa matriz. Se o determinante for igual a zero, os vetores são dependentes. Então, vamos calcular:
det a & -12 & -12 -12 & a & -12 -12 & -12 & a = 0
Passo 4
Calculando o determinante:
det &= a cdot det a & -12 -12 & a - (-12) cdot det -12 & -12 -12 & a + (-12) cdot det -12 & a -12 & -12 &= a(a^2 - 14) - (-12)(-a2 - 14) + (-12)(14 + a2) &= a^3 - a4 - a4 - 18 - 18 - a4 &= a^3 - 3a4 - 14
Passo 5
Agora, igualamos o determinante a zero e resolvemos a equação:
a^3 - 3a4 - 14 = 0
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar as frações: