Seja v in E um vetor não-nulo. O conjunto F=x v ; x in R de todos os múltiplos de v é um subespaço vetorial de E?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor que não é nulo em um espaço vetorial . O conjunto é formado por todos os múltiplos de , ou seja, . A pergunta é: esse conjunto é um subespaço vetorial de ?
Para resolver isso, vamos precisar saber o que define um subespaço vetorial. Um subespaço precisa atender a três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto 0 cdot v = 0 contém o vetor zero.
Sabemos que para , temos:
Portanto, o vetor zero está em . Essa primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos ver se u + w = x v + y v = (x + y) v é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois elementos quaisquer de , a soma deles também deve estar em .
Sejam e em , onde . A soma deles é:
Como é um número real, também está em . Logo, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se k cdot u = k cdot (x v) = (k x) v é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos qualquer elemento de e multiplicarmos por um escalar, o resultado também deve estar em .
Seja em e . Então:
Como é um número real, está em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto satisfaz todas as três condições necessárias (contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar), podemos concluir que é, sim, um subespaço vetorial de .

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