Seja
um vetor não-nulo. O conjunto
de todos os múltiplos de
é um subespaço vetorial de
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor
que não é nulo em um espaço vetorial
. O conjunto
é formado por todos os múltiplos de
, ou seja,
. A pergunta é: esse conjunto
é um subespaço vetorial de
?
Para resolver isso, vamos precisar saber o que define um subespaço vetorial. Um subespaço precisa atender a três condições básicas:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o conjunto
contém o vetor zero.
Sabemos que para
, temos:
Portanto, o vetor zero está em
. Essa primeira condição está satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois elementos quaisquer de
, a soma deles também deve estar em
.
Sejam
e
em
, onde
. A soma deles é:
Como
é um número real,
também está em
. Logo,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos qualquer elemento de
e multiplicarmos por um escalar, o resultado também deve estar em
.
Seja
em
e
. Então:
Como
é um número real,
está em
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto
satisfaz todas as três condições necessárias (contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar), podemos concluir que
é, sim, um subespaço vetorial de
.
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