j)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, vamos usar conhecimentos de limites e regras de cálculo como a Regra de L’Hospital. Precisamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, substituímos na função para ver se conseguimos achar o limite diretamente:
Isso nos dá uma forma indeterminada, então precisamos de outra abordagem.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como , podemos aplicar a Regra de L’Hospital. Essa regra nos diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo o limite original pelas derivadas:

Passo 6

Finalmente, substituímos na nova expressão:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

e)
Use derivação implícita para calcular : .
Seja uma função duas vezes derivável em e tal que para algúm , é possível afirmar que há um zero da derivada segunda de no intervalo ?
Sendo differentiável em , qual o significado geométrico para o fato de .
b) em todos os pontos.