Seja
uma função duas vezes derivável em
e tal que
para algúm
, é possível afirmar que há um zero da derivada segunda de
no intervalo
?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que é duas vezes derivável no intervalo
. Além disso, sabemos que
para algum
dentro de
. A pergunta é: podemos afirmar que existe algum ponto em
onde a segunda derivada de
é zero, ou seja,
?
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Rolle e o Teorema de Lagrange (ou Teorema do Valor Médio). Esses teoremas são fundamentais no estudo de derivadas e nos ajudam a entender o comportamento das funções em certos intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teorema de Rolle na função
no intervalo
. Como
e
é contínua e diferenciável nesse intervalo, existe pelo menos um ponto
em
onde a primeira derivada é zero:
Passo 3
Agora, aplicamos o Teorema de Rolle novamente na função
no intervalo
. Sabemos que
, então existe pelo menos um ponto
em
onde a primeira derivada também é zero:
Passo 4
Temos agora dois pontos,
e
, onde as derivadas primeiras são zero. Como
e
estão dentro de
e
, podemos aplicar o Teorema de Lagrange (ou Teorema do Valor Médio) na derivada
no intervalo
. Isso nos garante que existe pelo menos um ponto
em
onde a segunda derivada é zero:
Resposta
Sim, existe pelo menos um ponto no intervalo
onde a segunda derivada de
é zero.
Exercícios relacionados
j)
e)
Sendo
differentiável em
, qual o significado geométrico para o fato de
.
b) em todos os pontos.
b) em todos os pontos.
Seja
a) Mostre que possui derivada direcional, em qualquer direção, em
a) Mostre que possui