Seja f uma função duas vezes derivável em [a, b] e tal que f(a) = f(b) = f(c) para algúm c em (a, b), é possível afirmar que há um zero da derivada segunda de f no intervalo (a, b) ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que é duas vezes derivável no intervalo . Além disso, sabemos que para algum dentro de . A pergunta é: podemos afirmar que existe algum ponto em onde a segunda derivada de é zero, ou seja, ?
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Rolle e o Teorema de Lagrange (ou Teorema do Valor Médio). Esses teoremas são fundamentais no estudo de derivadas e nos ajudam a entender o comportamento das funções em certos intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teorema de Rolle na função no intervalo . Como e é contínua e diferenciável nesse intervalo, existe pelo menos um ponto em onde a primeira derivada é zero:

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema de Rolle novamente na função no intervalo . Sabemos que , então existe pelo menos um ponto em onde a primeira derivada também é zero:

Passo 4

Temos agora dois pontos, e , onde as derivadas primeiras são zero. Como e estão dentro de e , podemos aplicar o Teorema de Lagrange (ou Teorema do Valor Médio) na derivada no intervalo . Isso nos garante que existe pelo menos um ponto em onde a segunda derivada é zero:

Resposta

Sim, existe pelo menos um ponto no intervalo onde a segunda derivada de é zero.

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