Sendo f differentiável em R^2, qual o significado geométrico para o fato de nabla f(x, y) = 0.
b) em todos os pontos.

Passo 1

Então, a gente tem uma função que é diferenciável em todo o plano . A questão está perguntando o que significa geometricamente quando o gradiente dessa função, , é igual a zero em todos os pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente de uma função. O gradiente, , é um vetor que aponta na direção em que a função aumenta mais rapidamente. Ele é dado por:

Passo 3

Quando o gradiente é igual a zero em um ponto específico, ou seja, , isso significa que não há direção em que a função está aumentando naquele ponto. Geometricamente, isso indica que o ponto é um ponto crítico – que pode ser um ponto de máximo, mínimo ou um ponto de sela.

Passo 4

Agora, a questão está falando que o gradiente é zero em todos os pontos do plano. Se para todo , isso quer dizer que a função não está aumentando nem diminuindo em nenhuma direção, em nenhum ponto.

Passo 5

Se não há nenhum ponto onde a função está mudando, a única possibilidade é que a função seja constante em todo o plano. Ou seja, para qualquer par de pontos e , temos:

Resposta

Quando em todos os pontos de , a função é constante em todo o plano.

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