Sendo
differentiável em
, qual o significado geométrico para o fato de
.
b) em todos os pontos.
b) em todos os pontos.
Passo 1
Então, a gente tem uma função
que é diferenciável em todo o plano
. A questão está perguntando o que significa geometricamente quando o gradiente dessa função,
, é igual a zero em todos os pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente de uma função. O gradiente,
, é um vetor que aponta na direção em que a função
aumenta mais rapidamente. Ele é dado por:
Passo 3
Quando o gradiente é igual a zero em um ponto específico, ou seja,
, isso significa que não há direção em que a função está aumentando naquele ponto. Geometricamente, isso indica que o ponto é um ponto crítico – que pode ser um ponto de máximo, mínimo ou um ponto de sela.
Passo 4
Agora, a questão está falando que o gradiente é zero em todos os pontos do plano. Se
para todo
, isso quer dizer que a função
não está aumentando nem diminuindo em nenhuma direção, em nenhum ponto.
Passo 5
Se não há nenhum ponto onde a função está mudando, a única possibilidade é que a função
seja constante em todo o plano. Ou seja, para qualquer par de pontos
e
, temos:
Resposta
Quando
em todos os pontos de
, a função
é constante em todo o plano.
Exercícios relacionados
Seja
uma função duas vezes derivável em
e tal que
para algúm
, é possível afirmar que há um zero da derivada segunda de
no intervalo
?
j)
Seja
a) Mostre que possui derivada direcional, em qualquer direção, em
a) Mostre que possui
Qual é o ponto
do plano que tem a propriedade de ter como mínima a soma de sua distância ao eixo
com duas vezes a sua distância ao ponto
?