Sugestão: Para : e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma sugestão para manipular uma expressão que envolve funções e valores absolutos. A matéria envolvida é principalmente Álgebra e Análise, onde vamos precisar entender como trabalhar com frações e valores absolutos. Para resolver isso, vamos usar propriedades básicas de frações e do valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão que queremos manipular:
A ideia é reescrevê-la de uma forma que facilite futuras análises ou simplificações. Então, vamos separar essa fração em duas partes:
Aqui, a gente multiplicou e dividiu por (que é permitido desde que ) para separar a expressão em duas frações menores.

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda fração:
O que essa fração representa? Bem, dividido por seu valor absoluto vai nos dar o sinal de :
  • Se é positivo,
  • Se é negativo,
Isso significa que sempre será igual a ou , dependendo do sinal de .

Passo 4

Agora, vamos considerar o valor absoluto dessa fração:
Como vimos anteriormente, é ou ou . O valor absoluto disso sempre será:
Portanto, concluímos que:
Na verdade, nesse caso, a igualdade é sempre verdadeira, mas o enunciado pede para mostrarmos que é menor ou igual a 1, o que também está correto.

Resposta

Demonstramos que:
e que

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Suponha que exista tal que para . Prove que desde que o limite exista.
onde é a função do item
b) Mostre que existe tal que
j)