Sabe-se que é uma função derivável em e que a reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa 3 é . Seja dada por . Determine . Resp.: -1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é derivável em todos os números reais. Sabemos que a reta tangente ao gráfico de no ponto onde é dada por . A função é definida por . Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada de no ponto , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, regras de derivação de funções compostas e aplicá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a reta tangente no ponto . A reta tangente a uma função em um ponto nos dá duas informações importantes: o valor da função nesse ponto e a inclinação (derivada) da função nesse ponto.
Vamos reescrever a equação da reta tangente para facilitar:
Isso nos mostra que a derivada de no ponto é o coeficiente angular da reta, que é . Além disso, o ponto de tangência é , então podemos achar substituindo na equação da reta:
Portanto, e .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Para encontrar , precisamos usar a regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas.
A regra da cadeia nos diz que se temos uma função composta , então a derivada é:
No nosso caso, . Aqui, e . Vamos aplicar a regra da cadeia passo a passo.
Primeiro, encontramos :
Agora, aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora que temos a expressão para , vamos encontrar . Para isso, substituímos na expressão que encontramos:
Sabemos que e . Substituindo esses valores:

Resposta

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