Sabe-se que
é uma função derivável em
e que a reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa 3 é
. Seja
dada por
. Determine
. Resp.: -1.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que é derivável em todos os números reais. Sabemos que a reta tangente ao gráfico de
no ponto onde
é dada por
. A função
é definida por
. Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada de
no ponto
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, regras de derivação de funções compostas e aplicá-las passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a reta tangente
no ponto
. A reta tangente a uma função em um ponto nos dá duas informações importantes: o valor da função nesse ponto e a inclinação (derivada) da função nesse ponto.
Vamos reescrever a equação da reta tangente para facilitar:
Isso nos mostra que a derivada de
no ponto
é o coeficiente angular da reta, que é
. Além disso, o ponto de tangência é
, então podemos achar
substituindo
na equação da reta:
Portanto,
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Para encontrar
, precisamos usar a regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas.
A regra da cadeia nos diz que se temos uma função composta
, então a derivada
é:
No nosso caso,
. Aqui,
e
. Vamos aplicar a regra da cadeia passo a passo.
Primeiro, encontramos
:
Agora, aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora que temos a expressão para
, vamos encontrar
. Para isso, substituímos
na expressão que encontramos:
Sabemos que
e
. Substituindo esses valores:
Resposta
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Uma janela tem a forma de um retângulo com um semicírculo no topo. Se o perímetro total é fixo, determine as proporções da janela (isto é, a razão entre a altura e a base) que permitirá máxima iluminação.
Ache (r,
) se
e
para o ponto cuja representação cartesiana é
A resistência de uma viga de madeira retangular é proporcional a sua largura e ao cubo de sua altura. Determine as proporções (razão entre a altura e a largura) da maior viga que pode ser cortada de um dado tronco cilíndrico.
Sejam
. Determine
e
de modo que
seja mínimo.