A prefeitura de uma cidade quer investir na construção de uma praça. Os engenheiros de manutenção estimam que a cada 5 anos será necessária uma reforma profunda para mantê-la utilizável, com custo de R$ 75.000,00. Pede-se: calcular a quantia que deve ser aplicada hoje a juros de 12% a.a., para garantir o funcionamento da praça
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo:
A prefeitura quer investir R$250.000,00 na construção de uma praça. Além disso, os engenheiros informaram que a cada 5 anos será necessária uma reforma profunda, custando R$75.000,00, para manter a praça utilizável. Nosso objetivo é calcular quanto devemos aplicar hoje a uma taxa de 12% ao ano, para garantir tanto a construção inicial quanto as reformas futuras. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Valor Presente e Juros Compostos.
Passo 2
Entendendo o Investimento Inicial:
Primeiro, temos o investimento imediato de R$250.000,00 para a construção da praça. Esse valor já está em termos de hoje, então não precisamos fazer nenhum cálculo adicional para ele. Vamos considerar esse valor como parte do montante total que precisamos ter hoje.
Passo 3
Calculando o Valor Presente das Reformas Futura:
As reformas de R$75.000,00 ocorrem a cada 5 anos. Queremos determinar quanto precisamos ter hoje para cobrir esses custos futuros, levando em conta a taxa de juros de 12% ao ano. Para isso, usamos a fórmula do Valor Presente (VP) de uma série de pagamentos periódicos.
Passo 4
Fórmula do Valor Presente para Pagamentos Periódicos:
A fórmula para calcular o valor presente de uma série infinita de pagamentos periódicos é:
Onde:
é o Valor Presente.
é o valor de cada pagamento periódico (no nosso caso, R$75.000,00).
é a taxa de juros por período.
No entanto, como as reformas ocorrem a cada 5 anos, precisamos ajustar a taxa de juros para esse intervalo de tempo.
Passo 5
Ajustando a Taxa de Juros para 5 Anos:
Primeiro, calculamos a taxa de juros efetiva para 5 anos. A taxa anual é de 12%, então para 5 anos:
A taxa efetiva para 5 anos é então:
Passo 6
Calculando o Valor Presente das Reformas:
Usando a fórmula do Valor Presente:
Isso significa que precisamos de aproximadamente R$98.500,00 hoje para cobrir as reformas futuras de R$75.000,00 a cada 5 anos, considerando uma taxa de juros de 12% ao ano.
Passo 7
Calculando o Valor Total a Ser Aplicado Hoje:
Agora, somamos o investimento inicial com o valor presente das reformas:
Resposta
A quantia que deve ser aplicada hoje para garantir o funcionamento da praça é de R$348.500,00.