Um jogador de futebol chuta uma bola de maneira que ela possui um tempo de vôo (hang time) de 4,5 s e toca o solo a uma distância de 50 yd ( =45,7 m ). Se a bola deixa o pé do jogador 5,0 ft acima do solo, qual é a velocidade inicial (intensidade e direção)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um jogador de futebol que chuta a bola, e ela fica no ar por 4,5 segundos, chegando a uma distância de 45,7 metros. Além disso, a bola sai do pé do jogador a 5,0 pés acima do chão. Nosso objetivo é descobrir qual foi a velocidade inicial da bola, ou seja, quão rápido e em que direção ela foi chutada. Para isso, vamos usar conceitos de movimento projetil, que é parte da física que estuda como objetos se movem no ar sob a influência da gravidade. Vamos precisar dividir o movimento em duas partes: horizontal e vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as medidas para o sistema métrico para facilitar os cálculos. Sabemos que:
  • 1 pé (ft) ≈ 0,3048 metros (m)
Então, a altura inicial de 5,0 ft é:
h0 = 5,0 , ft times 0,3048 , mft = 1,524 , m

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento horizontal. Como não há aceleração na direção horizontal (a única força é a gravidade na vertical), a velocidade horizontal ($ v_{0x} v0x â R $) é dada por:
R
Queremos encontrar $ v_{0x} $:
R = v0x times t

Passo 4

Agora, vamos para o movimento vertical. Aqui, a bola tem uma aceleração devido à gravidade ($ g = 9,81 , m/s^2 g = 9,81 , m/s^2 çã y $) quando a bola toca o chão é 0, e a posição inicial é $ h_0 = 1,524 , m $. A equação do movimento vertical é:
y
Como $ y = 0 $ no final, temos:
h0 = 1,524 , m
Vamos resolver para $ v_{0y} $:
y = h0 + v0y times t - 12 g t^2
Calculando:
y = 0
0 = 1,524 , m + v0y times 4,5 , s - 12 times 9,81 , m/s^2 times (4,5 , s)^2
v0y
v0y = 12 times 9,81 times 4,5^2 - 1,5244,5

Passo 5

Agora que temos as componentes horizontal ($ v_{0x} v0x v_{0y} $) da velocidade inicial, podemos encontrar a magnitude e a direção dessa velocidade.
A magnitude da velocidade inicial ($ v_0 $) é dada por:
v0y
v0
v0 = raizv0x^2 + v0y^2
v0 = raiz(10,16)^2 + (21,73)^2
v0 = raiz103,22 + 471,86
Para encontrar a direção (ângulo de elevação $ \theta $):
v0 = raiz575,08
v0 approx 23,98 , m/s
theta
theta = arctan(v0yv0x)

Resposta

A velocidade inicial da bola é de aproximadamente 24,0 metros por segundo com um ângulo de 65,3 graus em relação ao solo.

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