Um jogador de futebol chuta uma bola com velocidade inicial de 20 m / s segundo um ângulo de 37^circ com a horizontal. (Um triangulo retângulo em que um dos ângulos é de 37^circ tem seus lados na razão 3:4:5 ou 6:8:10).
Supondo que a bola se move no plano vertical, calcule o seu alcance o tempo que a bola permanece no ar?

Passo 1

Entendendo o problema: Temos um jogador de futebol que chuta uma bola com uma velocidade inicial de 20 , m/s formando um ângulo de 37^circ com a horizontal. Precisamos calcular o alcance da bola (a distância horizontal percorrida) e o tempo que a bola fica no ar. Vamos usar cinemática de projéteis, que estuda o movimento de objetos lançados oblíquamente.

Passo 2

Decompondo a velocidade inicial: Para analisar o movimento, vamos separar a velocidade inicial em suas componentes horizontal ( vx) e vertical ( vy). Usamos as funções trigonométricas seno e cosseno para isso.
  • Componente horizontal: vx = v0 cdot cos(theta)
    - Componente vertical:
    vy = v0 cdot sin(theta)
Onde:
  • v0 = 20 , m/s é a velocidade inicial.
  • theta = 37^circ é o ângulo de lançamento.
Sabemos que cos(37^circ) approx 0,8 e sin(37^circ) approx 0,6 (usando a razão 3:4:5 mencionada no enunciado).
Então:
vx = 20 cdot 0,8 = 16 , m/s
vy = 20 cdot 0,6 = 12 , m/s

Passo 3

Calculando o tempo de voo: O tempo que a bola permanece no ar depende da componente vertical da velocidade. Quando a bola sobe, sua velocidade vertical diminui até chegar a zero no ponto mais alto, e depois ela desce, ganhando velocidade vertical novamente.
Usamos a fórmula:
ttotal = 2 vyg
Onde:
  • g = 9,8 , m/s^2 é a aceleração da gravidade.
  • vy = 12 , m/s é a componente vertical da velocidade inicial.
Então:
ttotal = 2 cdot 129,8 approx 249,8 approx 2,45 , segundos

Passo 4

Calculando o alcance (distância horizontal): O alcance é a distância que a bola percorre na direção horizontal durante todo o tempo de voo. Como não há aceleração horizontal (desprezando resistência do ar), a velocidade horizontal permanece constante.
Usamos a fórmula:
Alcance = vx cdot ttotal
Onde:
  • vx = 16 , m/s é a componente horizontal da velocidade.
  • ttotal approx 2,45 , segundos é o tempo de voo.
Então:
Alcance = 16 cdot 2,45 approx 39,2 , metros

Resposta

A bola possui um alcance de aproximadamente 39,2 metros e permanece no ar por cerca de 2,45 segundos.

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