Um jogador de futebol chuta uma bola com velocidade inicial de
segundo um ângulo de
com a horizontal. (Um triangulo retângulo em que um dos ângulos é de
tem seus lados na razão 3:4:5 ou 6:8:10).
Supondo que a bola se move no plano vertical, calcule o seu alcance o tempo que a bola permanece no ar?
Supondo que a bola se move no plano vertical, calcule o seu alcance o tempo que a bola permanece no ar?
Passo 1
Entendendo o problema: Temos um jogador de futebol que chuta uma bola com uma velocidade inicial de
formando um ângulo de
com a horizontal. Precisamos calcular o alcance da bola (a distância horizontal percorrida) e o tempo que a bola fica no ar. Vamos usar cinemática de projéteis, que estuda o movimento de objetos lançados oblíquamente.
Passo 2
Decompondo a velocidade inicial: Para analisar o movimento, vamos separar a velocidade inicial em suas componentes horizontal (
) e vertical (
). Usamos as funções trigonométricas seno e cosseno para isso.
- Componente horizontal:
- Componente vertical:
Onde:
-
é a velocidade inicial. -
é o ângulo de lançamento.
Sabemos que
e
(usando a razão 3:4:5 mencionada no enunciado).
Então:
Passo 3
Calculando o tempo de voo: O tempo que a bola permanece no ar depende da componente vertical da velocidade. Quando a bola sobe, sua velocidade vertical diminui até chegar a zero no ponto mais alto, e depois ela desce, ganhando velocidade vertical novamente.
Usamos a fórmula:
Onde:
-
é a aceleração da gravidade. -
é a componente vertical da velocidade inicial.
Então:
Passo 4
Calculando o alcance (distância horizontal): O alcance é a distância que a bola percorre na direção horizontal durante todo o tempo de voo. Como não há aceleração horizontal (desprezando resistência do ar), a velocidade horizontal permanece constante.
Usamos a fórmula:
Onde:
-
é a componente horizontal da velocidade. -
é o tempo de voo.
Então:
Resposta
A bola possui um alcance de aproximadamente 39,2 metros e permanece no ar por cerca de 2,45 segundos.