Um jogador de futebol chuta uma bola com velocidade inicial de segundo um ângulo de com a horizontal. (Um triangulo retângulo em que um dos ângulos é de tem seus lados na razão 3:4:5 ou 6:8:10).
Supondo que a bola se move no plano vertical, calcule o seu alcance o tempo que a bola permanece no ar?

Passo 1

Entendendo o problema: Temos um jogador de futebol que chuta uma bola com uma velocidade inicial de formando um ângulo de com a horizontal. Precisamos calcular o alcance da bola (a distância horizontal percorrida) e o tempo que a bola fica no ar. Vamos usar cinemática de projéteis, que estuda o movimento de objetos lançados oblíquamente.

Passo 2

Decompondo a velocidade inicial: Para analisar o movimento, vamos separar a velocidade inicial em suas componentes horizontal ( ) e vertical ( ). Usamos as funções trigonométricas seno e cosseno para isso.
  • Componente horizontal:
    - Componente vertical:
Onde:
  • é a velocidade inicial.
  • é o ângulo de lançamento.
Sabemos que e (usando a razão 3:4:5 mencionada no enunciado).
Então:

Passo 3

Calculando o tempo de voo: O tempo que a bola permanece no ar depende da componente vertical da velocidade. Quando a bola sobe, sua velocidade vertical diminui até chegar a zero no ponto mais alto, e depois ela desce, ganhando velocidade vertical novamente.
Usamos a fórmula:
Onde:
  • é a aceleração da gravidade.
  • é a componente vertical da velocidade inicial.
Então:

Passo 4

Calculando o alcance (distância horizontal): O alcance é a distância que a bola percorre na direção horizontal durante todo o tempo de voo. Como não há aceleração horizontal (desprezando resistência do ar), a velocidade horizontal permanece constante.
Usamos a fórmula:
Onde:
  • é a componente horizontal da velocidade.
  • é o tempo de voo.
Então:

Resposta

A bola possui um alcance de aproximadamente 39,2 metros e permanece no ar por cerca de 2,45 segundos.

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