John quer mandar uma carta para Peter, que mora na Rua Tesla. Contudo, John não lembra o número da casa, mas recorda que tem 4 dígitos, que é múltiplo de 5 e 7 e que o último dígito é 0. Qual o número mínimo de cartas que John precisa enviar para garantir que Peter a receba?
Passo 1
Beleza! Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar para resolver.
Resumo do Enunciado:
John quer enviar uma carta para Peter, mas esqueceu o número da casa. Ele lembra que o número tem 4 dígitos, é múltiplo de 5 e 7, e o último dígito é 0. A pergunta é: Quantas cartas John precisa enviar no mínimo para ter certeza de que uma delas chegue na casa certa?
John quer enviar uma carta para Peter, mas esqueceu o número da casa. Ele lembra que o número tem 4 dígitos, é múltiplo de 5 e 7, e o último dígito é 0. A pergunta é: Quantas cartas John precisa enviar no mínimo para ter certeza de que uma delas chegue na casa certa?
Conteúdos Envolvidos:
- Múltiplos: Números que podem ser divididos por outro número sem deixar resto.
- Divisibilidade: Regras para saber se um número é divisível por outro.
- Contagem de Possibilidades: Determinar quantas opções existem dadas certas condições.
Vamos passo a passo resolver isso!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa o número ser múltiplo de 5 e 7. Quando um número é múltiplo de dois números, ele também é múltiplo do mínimo múltiplo comum (MMC) desses dois números.
MMC de 5 e 7:
- 5 e 7 são primos entre si (não têm divisores comuns além de 1).
- Então, o MMC(5,7) = 5 × 7 = 35.
Conclusão: O número precisa ser múltiplo de 35.
Passo 3
Além disso, a questão diz que o último dígito do número é 0. Vamos lembrar que:
- Múltiplos de 5 sempre terminam em 0 ou 5.
- Mas como o último dígito é 0, isso já garante que o número é múltiplo de 10.
Então, o número precisa ser múltiplo de 35 e 10 ao mesmo tempo. Para encontrar isso, vamos calcular o mínimo múltiplo comum (MMC) de 35 e 10.
MMC de 35 e 10:
- Fatores de 35: 5 × 7
- Fatores de 10: 2 × 5
- MMC = 2 × 5 × 7 = 70
Conclusão: O número precisa ser múltiplo de 70.
Passo 4
Agora, vamos determinar quais são os números de 4 dígitos que são múltiplos de 70.
Intervalo de Números de 4 Dígitos:
- O menor número de 4 dígitos: 1000
- O maior número de 4 dígitos: 9999
Vamos encontrar os múltiplos de 70 dentro desse intervalo.
Passo 5
Para encontrar os múltiplos de 70 entre 1000 e 9999:
-
Encontrar o primeiro múltiplo de 70 após 1000:
- Dividimos 1000 por 70: 1000 ÷ 70 ≈ 14,285
- Arredondamos para cima para encontrar o próximo múltiplo inteiro: 15
- Então, o primeiro múltiplo é 70 × 15 = 1050
-
Encontrar o último múltiplo de 70 antes de 9999:
- Dividimos 9999 por 70: 9999 ÷ 70 ≈ 142,842
- Arredondamos para baixo para encontrar o múltiplo inteiro anterior: 142
- Então, o último múltiplo é 70 × 142 = 9940
Passo 6
Agora, vamos calcular quantos múltiplos de 70 existem de 1050 a 9940.
Fórmula para Contar os Termos:
Substituindo:
Resposta
John precisa enviar 128 cartas no mínimo para garantir que uma delas chegue na casa de Peter.