Sejam
e
funções definidas e deriváveis para todo
, tais que
para todo
, e
. Marque a única alternativa que é sempre verdadeira para todas as funções
e
que se encaixem nessas condições.
(A)
quando
e
quando
.
(B)
quando
e
quando
.
©
para todo
.
(D)
para todo
.
(E)
é crescente e
é decrescente.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Passo 1
Vamos resumir o que o problema está nos dizendo. Temos duas funções,
e
, que são definidas e diferenciáveis em todo número real
. Sabemos que:
-
: As funções têm o mesmo valor em . -
para todo : As funções são diferentes em todos os outros pontos além de . -
: A derivada de em é maior do que a derivada de em .
Nosso objetivo é determinar qual das alternativas (A a E) é sempre verdadeira para todas as funções
e
que atendem a essas condições. Vamos precisar usar conceitos de derivadas e propriedades de funções deriváveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que a derivada representa. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à função nesse ponto, ou seja, indica se a função está aumentando ou diminuindo naquele ponto.
Dado que
, isso significa que, no ponto
, a função
está aumentando mais rapidamente do que a função
.
Passo 3
Sabemos que
e que, para
próximo a 1, a inclinação de
é maior que a de
. Isso implica que, à medida que nos afastamos de
:
- Para
, como está aumentando mais rapidamente, ficará maior que . - Para
, a maior inclinação de faz com que seja menor que , já que estamos nos movendo para a esquerda de .
Passo 4
Agora, vamos analisar cada alternativa:
(A)
quando
e
quando
.
Com base no que discutimos, essa alternativa está correta porque reflete o comportamento das funções dada a condição das derivadas.
(B)
quando
e
quando
.
Esta é exatamente a inversa da alternativa A, o que não corresponde ao que observamos.
©
para todo
.
Isso não é necessariamente verdadeiro, pois apenas para
,
é maior, mas para
, é menor.
(D)
para todo
.
Semelhante à alternativa C, isso não é sempre verdadeiro.
(E)
é crescente e
é decrescente.
Não temos informações suficientes para afirmar isso; as derivadas em outros pontos além de
não estão especificadas.
Resposta
A alternativa (A)
quando
e
quando
é sempre verdadeira.