Sejam f e g funções definidas e deriváveis para todo x em R, tais que f(1) = g(1), f(x) ≠ g(x) para todo x != 1, e f'(1) > g'(1). Marque a única alternativa que é sempre verdadeira para todas as funções f e g que se encaixem nessas condições.
(A) f(x) > g(x) quando x > 1 e f(x) < g(x) quando x < 1.
(B) f(x) < g(x) quando x > 1 e f(x) > g(x) quando x < 1.
© f(x) > g(x) para todo x != 1.
(D) f(x) < g(x) para todo x != 1.
(E) f é crescente e g é decrescente.

Passo 1

Vamos resumir o que o problema está nos dizendo. Temos duas funções, e , que são definidas e diferenciáveis em todo número real . Sabemos que:
  • : As funções têm o mesmo valor em .
  • para todo : As funções são diferentes em todos os outros pontos além de .
  • : A derivada de em é maior do que a derivada de em .
Nosso objetivo é determinar qual das alternativas (A a E) é sempre verdadeira para todas as funções e que atendem a essas condições. Vamos precisar usar conceitos de derivadas e propriedades de funções deriváveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que a derivada representa. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à função nesse ponto, ou seja, indica se a função está aumentando ou diminuindo naquele ponto.
Dado que , isso significa que, no ponto , a função está aumentando mais rapidamente do que a função .

Passo 3

Sabemos que e que, para próximo a 1, a inclinação de é maior que a de . Isso implica que, à medida que nos afastamos de :
  • Para , como está aumentando mais rapidamente, ficará maior que .
  • Para , a maior inclinação de faz com que seja menor que , já que estamos nos movendo para a esquerda de .

Passo 4

Agora, vamos analisar cada alternativa:
(A) quando e quando .
Com base no que discutimos, essa alternativa está correta porque reflete o comportamento das funções dada a condição das derivadas.
(B) quando e quando .
Esta é exatamente a inversa da alternativa A, o que não corresponde ao que observamos.
© para todo .
Isso não é necessariamente verdadeiro, pois apenas para , é maior, mas para , é menor.
(D) para todo .
Semelhante à alternativa C, isso não é sempre verdadeiro.
(E) é crescente e é decrescente.
Não temos informações suficientes para afirmar isso; as derivadas em outros pontos além de não estão especificadas.

Resposta

A alternativa (A) quando e quando é sempre verdadeira.

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