Julgue as afirmações a seguir como verdadeira ou falsa.
Seja V=C([0,1]) onde C([0,1]) é o espaço vetorial das funções reais contínuas definidas em [0,1]. A aplicação T: V V dada por
T(f(t))=f(t) varphi(t), onde varphi é um elemento fixo de V, é uma aplicação linear.

Passo 1

Então, a gente tem que analisar se uma certa aplicação chamada é linear. Estamos trabalhando no espaço , que é o conjunto de todas as funções reais contínuas no intervalo . A aplicação transforma uma função em , onde é uma função fixa também em . Vamos ver se essa é realmente uma aplicação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma aplicação ser linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade: para todas as funções em .
  2. Homogeneidade: para todo escalar e toda função em .
Vamos verificar essas duas propriedades para a nossa aplicação .

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Vamos pegar duas funções quaisquer T(f + g) = (f + g) varphi e T(f + g) = f varphi + g varphi em T(f) + T(g) = f varphi + g varphi .
Aplicando T(f + g) = T(f) + T(g) na soma dessas funções:
Distribuindo :
Por outro lado, calculando :
Vemos que:
Então, a aplicação satisfaz a propriedade de aditividade.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Vamos pegar um escalar T(alpha f) = (alpha f) varphi = alpha (f varphi) qualquer e uma função alpha T(f) = alpha (f varphi) em T(alpha f) = alpha T(f) .
Aplicando na função escalada :
Por outro lado, calculando :
Então, temos:
Portanto, a aplicação também satisfaz a propriedade de homogeneidade.

Resposta

Como a aplicação satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é uma aplicação linear.

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