Julgue as afirmações a seguir como verdadeira ou falsa.
Seja
onde
é o espaço vetorial das funções reais contínuas definidas em
. A aplicação
dada por
, onde
é um elemento fixo de
, é uma aplicação linear.
Seja
Passo 1
Então, a gente tem que analisar se uma certa aplicação chamada
é linear. Estamos trabalhando no espaço
, que é o conjunto de todas as funções reais contínuas no intervalo
. A aplicação
transforma uma função
em
, onde
é uma função fixa também em
. Vamos ver se essa
é realmente uma aplicação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma aplicação ser linear. Uma função
é linear se ela satisfaz duas propriedades:
- Aditividade:
para todas as funções em . - Homogeneidade:
para todo escalar e toda função em .
Vamos verificar essas duas propriedades para a nossa aplicação
.
Passo 3
Verificando a Aditividade:
Vamos pegar duas funções quaisquer e
em
.
Vamos pegar duas funções quaisquer
Aplicando
na soma dessas funções:
Distribuindo
:
Por outro lado, calculando
:
Vemos que:
Então, a aplicação
satisfaz a propriedade de aditividade.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Vamos pegar um escalar qualquer e uma função
em
.
Vamos pegar um escalar
Aplicando
na função escalada
:
Por outro lado, calculando
:
Então, temos:
Portanto, a aplicação
também satisfaz a propriedade de homogeneidade.
Resposta
Como a aplicação
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é uma aplicação linear.
Exercícios relacionados
Sejam
e $\vec{v}=(1,1). Determine
Determine, se existir, os seguintes limites:
(u) \lim _{t \rightarrow 0} \frac{2+t-2}{t}.
(u) \lim _{t \rightarrow 0} \frac{2+t-2}{t}.
Encontre um vetor perpendicular ao vetor
.
Esboce o gráfico das seguintes funções:
(d) .
(d)