Seja a transformacão linear definida pela matriz onde a=(1,-1),(0,2) e beta=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0). Determine: [T(5,7)].
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida pela matriz . As bases envolvidas são para e para . Queremos encontrar a imagem de sob a transformação , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar:
Expressar o vetor na base .
Aplicar a matriz da transformação para encontrar as coordenadas na base .
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas do vetor v = c1 a1 + c2 a2 na base c1 cdot 1 + c2 cdot 0 = 5 c1 cdot (-1) + c2 cdot 2 = 7 , onde e .
Queremos encontrar escalares e tais que:
Isso resulta no sistema de equações:
Passo 3
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação:
c1 = 5
Substituindo -5 + 2c2 = 7 2c2 = 12 c2 = 6 na segunda equação:
5 6
Portanto, as coordenadas de na base são .
Passo 4
Agora, aplicamos a matriz da transformação [T]B^a = 1 & 0 1 & 1 0 & -1 às coordenadas [T]B^a cdot [v]a = 1 & 0 1 & 1 0 & -1 5 6 = 1 cdot 5 + 0 cdot 6 1 cdot 5 + 1 cdot 6 0 cdot 5 + (-1) cdot 6 = 5 11 -6 para encontrar as coordenadas na base .
A matriz é:
Multiplicando pela coluna :
Passo 5
O vetor resultante 5 11 -6 está nas coordenadas da base 5 11 -6 . Portanto, .