Julgue, justificando rigorosamente a sua resposta, se as séries abaixo são convergentes.
a)
b)
c)
Passo 1
Vamos analisar cada uma das séries para verificar se elas são convergentes, utilizando testes de convergência apropriados, como o Teste da Razão, o Teste da Raiz e comparações com séries conhecidas.
Passo 2
a)
Para essa série, vamos usar o Teste da Razão, que é útil quando os termos envolvem fatoriais ou potências.
Calculamos o limite:
Como , pelo Teste da Razão, a série é convergente.
Passo 3
b) limn to infty (log nn) = 0
Aqui, vamos aplicar o Teste da Raiz, que é adequado para termos da forma .
Calculamos o limite da raiz enésima dos termos:
Como o limite é , pelo Teste da Raiz, a série é convergente.
Passo 4
c) cos(1n^2) approx 1 - 12n^4
Observamos que para grandes valores de :
Portanto, os termos da série comportam-se como . A série é divergente, e a subtração de não é suficiente para garantir a convergência.