Julgue, justificando rigorosamente a sua resposta, se as séries abaixo são convergentes.
a) sumn=1^infty 2^nn!
b) sumn=1^infty(log nn)^n
c) sumn=1^infty cos (1n^2)

Passo 1

Vamos analisar cada uma das séries para verificar se elas são convergentes, utilizando testes de convergência apropriados, como o Teste da Razão, o Teste da Raiz e comparações com séries conhecidas.

Passo 2

a) limn to infty | an+1an | = limn to infty 2^n+1/(n+1)!2^n/n! = limn to infty 2n+1 = 0
Para essa série, vamos usar o Teste da Razão, que é útil quando os termos envolvem fatoriais ou potências.
Calculamos o limite:
Como , pelo Teste da Razão, a série é convergente.

Passo 3

b) limn to infty (log nn) = 0
Aqui, vamos aplicar o Teste da Raiz, que é adequado para termos da forma .
Calculamos o limite da raiz enésima dos termos:
Como o limite é , pelo Teste da Raiz, a série é convergente.

Passo 4

c) cos(1n^2) approx 1 - 12n^4
Observamos que para grandes valores de :
Portanto, os termos da série comportam-se como . A série é divergente, e a subtração de não é suficiente para garantir a convergência.
Assim, a série é divergente.

Resposta

a) A série é convergente.
b) A série é convergente.
c) A série é divergente.

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