Mostre que a sequência x_n definida por x1 = 1 e x_{n+1} = 1/(3 + x_{n}), para todo n in N, converge e determine o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a sequência definida por e converge e para encontrar o seu limite. A matéria envolvida aqui é sucessões numéricas e limites de sequências. Para resolver, vamos precisar entender como as sequências se comportam quando se aproximam de um valor fixo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir. Basicamente, dizemos que uma sequência converge se ela se aproxima cada vez mais de um número específico à medida que aumenta. Esse número específico é chamado de limite da sequência.

Passo 3

Para encontrar o limite da sequência dada, vamos supor que ela realmente converge e que o limite é um número . Se a sequência converge para , tanto quanto devem chegar a quando tende ao infinito. Então, podemos substituir na fórmula da sequência:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar . Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Expandindo:
Rearranjando os termos:

Passo 5

Essa é uma equação quadrática. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Substituindo:

Passo 6

Temos duas soluções:
Como estamos lidando com uma sequência de números positivos (começa em 1 e os termos seguintes também são positivos, já que o denominador é sempre maior que 3), descartamos a solução negativa. Portanto, o limite é:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

Exercícios relacionados