Mostre que a sequência
definida por
e
, para todo
, converge e determine o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a sequência definida por
e
converge e para encontrar o seu limite. A matéria envolvida aqui é sucessões numéricas e limites de sequências. Para resolver, vamos precisar entender como as sequências se comportam quando se aproximam de um valor fixo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir. Basicamente, dizemos que uma sequência
converge se ela se aproxima cada vez mais de um número específico à medida que
aumenta. Esse número específico é chamado de limite da sequência.
Passo 3
Para encontrar o limite da sequência dada, vamos supor que ela realmente converge e que o limite é um número
. Se a sequência converge para
, tanto
quanto
devem chegar a
quando
tende ao infinito. Então, podemos substituir na fórmula da sequência:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
. Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Expandindo:
Rearranjando os termos:
Passo 5
Essa é uma equação quadrática. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Substituindo:
Passo 6
Temos duas soluções:
Como estamos lidando com uma sequência de números positivos (começa em 1 e os termos seguintes também são positivos, já que o denominador
é sempre maior que 3), descartamos a solução negativa. Portanto, o limite é:
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é
.