Mostre que lim n infty log (n)n=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim n infty log (n)n=0. Essa questão está relacionada ao cálculo de limites, mais especificamente comparando o crescimento de funções logarítmicas e lineares. Para resolver, vamos precisar entender como a função logarítmica cresce em relação a uma função linear à medida que fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite usando uma variável contínua, já que limx to infty log(x)x tende ao infinito. Assim, consideramos indo para infinito:
Aqui, geralmente se refere ao logaritmo natural, ou seja, .

Passo 3

Observamos que à medida que cresce, o numerador também cresce, mas de forma bem mais lenta comparado ao denominador . Para confirmar isso rigorosamente, podemos usar a Regra de L’Hospital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como .

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hospital, derivamos o numerador e o denominador separadamente:
Derivada de log(x) = 1x
Derivada de x = 1
Então, o limite se transforma em:
limx to infty 1x1 = limx to infty 1x

Passo 5

Agora, analisamos o novo limite . Claramente, à medida que aumenta sem limite, se aproxima de 0.

Passo 6

Portanto, aplicando a Regra de L’Hospital, concluímos que:
limx to infty log(x)x = 0
Como essa equivalência vale para tendendo a infinito, também vale para tendendo a infinito.

Resposta

lim n infty log (n)n = 0

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