Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Essa questão está relacionada ao cálculo de limites, mais especificamente comparando o crescimento de funções logarítmicas e lineares. Para resolver, vamos precisar entender como a função logarítmica cresce em relação a uma função linear à medida que
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o limite usando uma variável contínua, já que
tende ao infinito. Assim, consideramos
indo para infinito:
Aqui,
geralmente se refere ao logaritmo natural, ou seja,
.
Passo 3
Observamos que à medida que
cresce, o numerador
também cresce, mas de forma bem mais lenta comparado ao denominador
. Para confirmar isso rigorosamente, podemos usar a Regra de L’Hospital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como
.
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hospital, derivamos o numerador e o denominador separadamente:
Então, o limite se transforma em:
Passo 5
Agora, analisamos o novo limite
. Claramente, à medida que
aumenta sem limite,
se aproxima de 0.
Passo 6
Portanto, aplicando a Regra de L’Hospital, concluímos que:
Como essa equivalência vale para
tendendo a infinito, também vale para
tendendo a infinito.