Se uma sequência monótona possui uma subsequência convergente, prove que a sequência é, ela própria, convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que diz: “Se uma sequência monótona possui uma subsequência convergente, prove que a sequência é, ela própria, convergente.” Isso está dentro da matéria de Sequências e Limites em Matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma sequência monótona, o que significa uma subsequência convergente e como essas ideias se relacionam para provar que a sequência inteira também converge.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma sequência monótona. Uma sequência é monótona se ela está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Ou seja, para toda , se for crescente, temos ; se for decrescente, então .

Passo 3

Agora, uma subsequência é simplesmente uma sequência que pegamos de dentro da sequência original, escolhendo elementos sem mudar a ordem. E ela é convergente se seus termos se aproximam de um certo número limite conforme vão para o infinito. Ou seja, existe um tal que .

Passo 4

Como a sequência original é monótona e tem uma subsequência que converge, podemos usar o Teorema da Convergência Monótona. Esse teorema diz que toda sequência monótona que é limitada é convergente. Ou seja, se está sempre aumentando e tem um maior limite, ou sempre diminuindo e tem um menor limite, ela vai convergir para esse limite.

Passo 5

No nosso caso, a existência de uma subsequência convergente implica que a sequência original é limitada. Por quê? Porque se a subsequência converge para , então a sequência toda não pode ser maior do que um certo valor (se for crescente) ou menor do que outro (se for decrescente). Assim, a sequência original está limitada.

Passo 6

Como a sequência é monótona e está limitada (como acabamos de ver), pelo Teorema da Convergência Monótona, ela deve ser convergente. Ou seja, existe um limite tal que .

Resposta

Portanto, se uma sequência monótona possui uma subsequência convergente, a sequência inteira também é convergente.

Exercícios relacionados