Se lim n infty xn=a, mostre que lim n infty|xn|=|a|.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A questão diz que se a sequência , precisamos mostrar que . Aqui, estamos trabalhando com limites de sequências e valor absoluto. Para resolver isso, vamos usar a definição de limite e as propriedades do valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que, conforme fica muito grande, os termos da sequência se aproximam cada vez mais do número .

Passo 3

Agora, queremos mostrar que os valores absolutos desses termos, , também se aproximam de quando tende ao infinito, ou seja, .

Passo 4

Vamos usar a propriedade dos limites que diz que se , então para funções contínuas . O valor absoluto é uma função contínua, então podemos aplicar essa propriedade diretamente.

Passo 5

Aplicando a propriedade, temos:
limn infty |xn| = |limn infty xn| = |a|
Isso mostra que o limite do valor absoluto dos termos é igual ao valor absoluto do limite.

Resposta

Portanto, mostramos que .

Exercícios relacionados