Se
, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A questão diz que se a sequência
, precisamos mostrar que
. Aqui, estamos trabalhando com limites de sequências e valor absoluto. Para resolver isso, vamos usar a definição de limite e as propriedades do valor absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que, conforme
fica muito grande, os termos da sequência
se aproximam cada vez mais do número
.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que os valores absolutos desses termos,
, também se aproximam de
quando
tende ao infinito, ou seja,
.
Passo 4
Vamos usar a propriedade dos limites que diz que se
, então
para funções contínuas
. O valor absoluto é uma função contínua, então podemos aplicar essa propriedade diretamente.
Passo 5
Aplicando a propriedade, temos:
Isso mostra que o limite do valor absoluto dos termos é igual ao valor absoluto do limite.
Resposta
Portanto, mostramos que
.