Julgue as seguintes sentenças como verdadeira (V) ou falsa (F). No caso de ser verdadeira, demonstre-a; caso contrário, apresente um contra-exemplo.
(d) ( ) se o conjunto de vetores não-nulos u, v, w de V^3 for linearmente independente então u-v, u+v+w, 3 v é linearmente independente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de três vetores não nulos u, v, w em um espaço vetorial tridimensional V^3 e sabemos que esse conjunto é linearmente independente. Agora, queremos saber se, ao transformar esses vetores em u-v, u+v+w, 3v, o novo conjunto também permanece linearmente independente. Para resolver isso, vamos revisar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente e aplicar isso para verificar a nova coleção de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é independência linear. Um conjunto de vetores v1, v2, ldots, vn é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se:
a1v1 + a2v2 + ldots + anvn = 0
Implica que:
a1 = a2 = ldots = an = 0
No nosso caso, sabemos que u, v, w é linearmente independente, então essa propriedade vale para eles.

Passo 3

Vamos agora verificar se a transformação dos vetores mantém ou não a independência linear. Consideramos a combinação linear dos novos vetores igual a zero:
a(u - v) + b(u + v + w) + c(3v) = 0
Vamos distribuir os coeficientes:
au - av + bu + bv + bw + 3cv = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(a + b)u + (-a + b + 3c)v + bw = 0
Como sabemos que u, v, w é linearmente independente, os coeficientes de cada vetor devem ser zero:
  1. a + b = 0
  2. -a + b + 3c = 0
  3. b = 0
Da terceira equação, temos que b = 0. Substituindo isso na primeira equação, obtemos a = 0. Com a = 0 e b = 0, a segunda equação fica 3c = 0, o que implica c = 0.

Passo 4

Como a única solução para a combinação linear é a = b = c = 0, isso significa que os vetores u-v, u+v+w, 3v também são linearmente independentes.

Resposta

(V) Verdadeira. Os vetores transformados u-v, u+v+w, 3v são linearmente independentes porque a única solução para a combinação linear igual a zero é quando todos os coeficientes são zero.

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