Julgue as seguintes sentenças como verdadeira (V) ou falsa (F). No caso de ser verdadeira, demonstre-a; caso contrário, apresente um contra-exemplo.
(d) ( ) se o conjunto de vetores não-nulos
de
for linearmente independente então
é linearmente independente.
(d) ( ) se o conjunto de vetores não-nulos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de três vetores não nulos
em um espaço vetorial tridimensional
e sabemos que esse conjunto é linearmente independente. Agora, queremos saber se, ao transformar esses vetores em
, o novo conjunto também permanece linearmente independente. Para resolver isso, vamos revisar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente e aplicar isso para verificar a nova coleção de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é independência linear. Um conjunto de vetores
é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se:
Implica que:
No nosso caso, sabemos que
é linearmente independente, então essa propriedade vale para eles.
Passo 3
Vamos agora verificar se a transformação dos vetores mantém ou não a independência linear. Consideramos a combinação linear dos novos vetores igual a zero:
Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Como sabemos que
é linearmente independente, os coeficientes de cada vetor devem ser zero:
Da terceira equação, temos que
. Substituindo isso na primeira equação, obtemos
. Com
e
, a segunda equação fica
, o que implica
.
Passo 4
Como a única solução para a combinação linear é
, isso significa que os vetores
também são linearmente independentes.
Resposta
(V) Verdadeira. Os vetores transformados
são linearmente independentes porque a única solução para a combinação linear igual a zero é quando todos os coeficientes são zero.