Sejam C=[cc1 & 2 -2 & 3] e D=[cc0 & 1 -1 & 5] matrizes de ordem 2. Calcule (C D+D C)^t e D^t C^t+C^t D^t. O que você observa?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes e de ordem 2. Precisamos calcular duas expressões:
Vamos precisar saber como multiplicar matrizes, somá-las e calcular a transposta de uma matriz. Além disso, vamos ver uma propriedade interessante das transpostas em relação à multiplicação de matrizes.

Passo 2

Vamos começar calculando C = 1 & 2 -2 & 3 . Para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira pela coluna da segunda e somamos os resultados.
Matriz D = 0 & 1 -1 & 5 :
CD = 1*0 + 2*(-1) & 1*1 + 2*5 -2*0 + 3*(-1) & -2*1 + 3*5 = 0 - 2 & 1 + 10 0 - 3 & -2 + 15 = -2 & 11 -3 & 13
Matriz :
Calculando :

Passo 3

Agora, vamos calcular DC = 0*1 + 1*(-2) & 0*2 + 1*3 -1*1 + 5*(-2) & -1*2 + 5*3 = 0 - 2 & 0 + 3 -1 -10 & -2 + 15 = -2 & 3 -11 & 13 da mesma forma.
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos somar as matrizes CD + DC = -2 & 11 -3 & 13 + -2 & 3 -11 & 13 = -2 + (-2) & 11 + 3 -3 + (-11) & 13 + 13 = -4 & 14 -14 & 26 e :

Passo 5

Vamos calcular a transposta de (CD + DC)^t = -4 & 14 -14 & 26 ^t = -4 & -14 14 & 26 , que é . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.

Passo 6

Agora, vamos calcular C^t = 1 & -2 2 & 3 . Primeiro, precisamos encontrar as transpostas de D^t = 0 & -1 1 & 5 e .
Transposta de :
Transposta de :

Passo 7

Vamos multiplicar D^t C^t = 0 & -1 1 & 5 1 & -2 2 & 3 = 0*1 + (-1)*2 & 0*(-2) + (-1)*3 1*1 + 5*2 & 1*(-2) + 5*3 = 0 - 2 & 0 - 3 1 + 10 & -2 + 15 = -2 & -3 11 & 13 por :

Passo 8

Agora, vamos multiplicar C^t D^t = 1 & -2 2 & 3 0 & -1 1 & 5 = 1*0 + (-2)*1 & 1*(-1) + (-2)*5 2*0 + 3*1 & 2*(-1) + 3*5 = 0 - 2 & -1 -10 0 + 3 & -2 + 15 = -2 & -11 3 & 13 por :

Passo 9

Agora, vamos somar D^t C^t + C^t D^t = -2 & -3 11 & 13 + -2 & -11 3 & 13 = -2 + (-2) & -3 + (-11) 11 + 3 & 13 + 13 = -4 & -14 14 & 26 e :

Resposta

Ao comparar -4 & -14 14 & 26 com -4 & -14 14 & 26 , observamos que são iguais. Isso mostra que a transposta da soma do produto é igual à soma dos produtos das transpostas .

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