Obtenha o determinante de A usando a expansão por cofatores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar o determinante de uma matriz usando a expansão por cofatores. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de determinantes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o determinante, o que são cofatores e como aplicar a expansão por cofatores passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o determinante. O determinante é um número que pode ser calculado a partir de uma matriz quadrada e que nos dá informações valiosas sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. A expansão por cofatores é uma técnica que permite calcular o determinante de matrizes de qualquer tamanho, mas é mais trabalhoso para matrizes grandes.

Passo 3

Vamos supor que a matriz A = a & b & c d & e & f g & h & i seja uma matriz 3x3 para facilitar o entendimento. Por exemplo:

Passo 4

Para calcular o determinante de usando a expansão por cofatores, escolhemos uma linha ou coluna para expandir. Geralmente, é mais fácil escolher a linha ou coluna que contém mais zeros, mas para este exemplo, vamos expandir pela primeira linha.

Passo 5

A fórmula da expansão por cofatores para a primeira linha é:
det(A) = a cdot C11 - b cdot C12 + c cdot C13
Onde é o cofator correspondente ao elemento na posição .

Passo 6

Agora, vamos calcular cada cofator. O cofator Cij = (-1)^i+j cdot Mij é dado por:
E é a matriz menor, que é obtida removendo a i-ésima linha e a j-ésima coluna de .

Passo 7

Vamos calcular C11 = (-1)^1+1 cdot det( e & f h & i ) = 1 cdot (e cdot i - f cdot h) = ei - fh :

Passo 8

Em seguida, calculamos C12 = (-1)^1+2 cdot det( d & f g & i ) = -1 cdot (d cdot i - f cdot g) = -(di - fg) = fg - di :

Passo 9

Por fim, calculamos C13 = (-1)^1+3 cdot det( d & e g & h ) = 1 cdot (d cdot h - e cdot g) = dh - eg :

Passo 10

Agora, substituímos os cofatores na fórmula inicial:
det(A) = a cdot (ei - fh) - b cdot (fg - di) + c cdot (dh - eg)

Passo 11

Simplificando:
det(A) = a(ei - fh) - b(fg - di) + c(dh - eg)

Passo 12

E esse é o determinante da matriz calculado pela expansão por cofatores!

Resposta

O determinante de det(A) = a(ei - fh) - b(fg - di) + c(dh - eg) usando a expansão por cofatores é:

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