Suponhamos fixada uma base ortonormal. Se
,
(a) determine um vetor unitário
, ortogonal a
e cuja projeção sobre o vetor
é
, sabendo que
;
(a) determine um vetor unitário
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, o que a questão está pedindo? Temos uma base ortonormal e três vetores:
,
e
. Precisamos encontrar um vetor unitário
que seja ortogonal a
, cuja projeção sobre
seja
, e que satisfaça
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de vetores ortogonais, projeção de vetores e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que
seja ortogonal a
. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então, temos:
Suponha que
. Então:
Passo 3
Agora, vamos considerar a projeção de
sobre
. A fórmula da projeção de
em
é:
Sabemos que essa projeção deve ser
. Primeiro, vamos calcular
:
Então:
Isso deve ser igual a
, então:
Passo 4
Lembre-se que já temos
da condição de ortogonalidade. Agora, temos duas equações:
Além disso,
deve ser um vetor unitário, ou seja:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos resolver as equações simultaneamente. Da equação
, podemos expressar
em função de
:
Substituindo isso na equação
:
Então,
ou
Passo 6
Vamos analisar cada caso:
Caso 1:
Verificando
:
Caso 2:
Verificando
:
Resposta
O vetor unitário que atende às condições é
.