Suponhamos fixada uma base ortonormal. Se u=(1,0,1), v=(1,0,0), w=(1,1,0),
(a) determine um vetor unitário a, ortogonal a u e cuja projeção sobre o vetor w é (1 / 2,1 / 2,0), sabendo que a cdot v>0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o que a questão está pedindo? Temos uma base ortonormal e três vetores: u = (1,0,1), v = (1,0,0) e w = (1,1,0). Precisamos encontrar um vetor unitário a que seja ortogonal a u, cuja projeção sobre w seja (12, 12, 0), e que satisfaça a cdot v > 0. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de vetores ortogonais, projeção de vetores e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a seja ortogonal a u. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então, temos:
a cdot u = 0
Suponha que a = (a1, a2, a3). Então:
a1 cdot 1 + a2 cdot 0 + a3 cdot 1 = a1 + a3 = 0 Rightarrow a3 = -a1

Passo 3

Agora, vamos considerar a projeção de a sobre w. A fórmula da projeção de a em w é:
projw a = ( a cdot ww cdot w ) w
Sabemos que essa projeção deve ser (12, 12, 0). Primeiro, vamos calcular w cdot w:
w cdot w = 1^2 + 1^2 + 0^2 = 2
Então:
( a cdot w2 ) w = ( a1 cdot 1 + a2 cdot 1 + a3 cdot 02 ) (1,1,0) = ( a1 + a22 ) (1,1,0) = ( a1 + a22, a1 + a22, 0 )
Isso deve ser igual a (12, 12, 0), então:
a1 + a22 = 12 Rightarrow a1 + a2 = 1

Passo 4

Lembre-se que já temos a3 = -a1 da condição de ortogonalidade. Agora, temos duas equações:
  1. a1 + a2 = 1
  2. a3 = -a1
Além disso, a deve ser um vetor unitário, ou seja:
|a| = 1 Rightarrow a1^2 + a2^2 + a3^2 = 1
Substituindo a3 = -a1:
a1^2 + a2^2 + (-a1)^2 = 1 Rightarrow 2a1^2 + a2^2 = 1

Passo 5

Vamos resolver as equações simultaneamente. Da equação a1 + a2 = 1, podemos expressar a2 em função de a1:
a2 = 1 - a1
Substituindo isso na equação 2a1^2 + a2^2 = 1:
2a1^2 + (1 - a1)^2 = 1 2a1^2 + 1 - 2a1 + a1^2 = 1 3a1^2 - 2a1 + 1 = 1 3a1^2 - 2a1 = 0 a1(3a1 - 2) = 0
Então, a1 = 0 ou 3a1 - 2 = 0 Rightarrow a1 = 23

Passo 6

Vamos analisar cada caso:
Caso 1: a1 = 0
  • a2 = 1 - 0 = 1
  • a3 = -0 = 0
  • a = (0,1,0)
Verificando a cdot v > 0:
v = (1,0,0)
a cdot v = 0 cdot 1 + 1 cdot 0 + 0 cdot 0 = 0 Não satisfaz a cdot v > 0 ã
Caso 2: a1 = 23
  • a2 = 1 - 23 = 13
  • a3 = -23
  • a = ( 23, 13, -23 )
Verificando a cdot v > 0:
a cdot v = 23 cdot 1 + 13 cdot 0 + ( -23 ) cdot 0 = 23 > 0 Satisfaz

Resposta

O vetor unitário que atende às condições é a = ( dfrac23, dfrac13, -dfrac23 ).

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