Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente precisa julgar se a afirmação "qualquer conjunto de vetores não-nulos de é uma base de " é verdadeira ou falsa. Estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com bases e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial, como , é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de , precisamos de exatamente três vetores para formar uma base.
Passo 3
Agora, a afirmação diz que qualquer conjunto de três vetores não-nulos forma uma base. Mas será que isso sempre é verdade? Não necessariamente! Para que três vetores formem uma base, eles não só precisam ser diferentes de zero, mas também precisam ser linearmente independentes.
Passo 4
Vamos entender o que é linearmente independente. Três vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles dá o vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero. Se os vetores forem linearmente dependentes, isso significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação dos outros, e nesse caso, eles não formam uma base.
Passo 5
Então, para provar que a afirmação é falsa, basta encontrar um exemplo de três vetores não-nulos em que não são linearmente independentes, ou seja, que não formam uma base.
Passo 6
Vamos considerar os vetores:
Esses três vetores são todos não-nulos em V^3.
Passo 7
Vamos verificar se eles são linearmente independentes. Se conseguirmos escrever um vetor como uma combinação dos outros, então são dependentes.
w = u + v
Isso mostra que w pode ser escrito como a soma de u e v, então os vetores são linearmente dependentes.
Passo 8
Como encontramos um conjunto de três vetores não-nulos em V^3 que não formam uma base, isso significa que a afirmação original é falsa.
Resposta
Falso. Por exemplo, os vetores u = 1 0 0, v = 0 1 0 e w = 1 1 0 são não-nulos em V^3, mas não formam uma base porque w pode ser escrito como u + v.