Julgue as seguintes sentenças como verdadeira (V) ou falsa (F). No caso de ser verdadeira, demonstre-a; caso contrário, apresente um contra-exemplo.
© ( ) qualquer conjunto de vetores não-nulos u, v, w de V^3 é uma base de V^3;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente precisa julgar se a afirmação "qualquer conjunto de vetores não-nulos u, v, w de V^3 é uma base de V^3" é verdadeira ou falsa. Estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com bases e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial, como V^3, é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de V^3, precisamos de exatamente três vetores para formar uma base.

Passo 3

Agora, a afirmação diz que qualquer conjunto de três vetores não-nulos forma uma base. Mas será que isso sempre é verdade? Não necessariamente! Para que três vetores formem uma base, eles não só precisam ser diferentes de zero, mas também precisam ser linearmente independentes.

Passo 4

Vamos entender o que é linearmente independente. Três vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles dá o vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero. Se os vetores forem linearmente dependentes, isso significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação dos outros, e nesse caso, eles não formam uma base.

Passo 5

Então, para provar que a afirmação é falsa, basta encontrar um exemplo de três vetores não-nulos em V^3 que não são linearmente independentes, ou seja, que não formam uma base.

Passo 6

Vamos considerar os vetores:
u = 1 0 0, v = 0 1 0, w = 1 1 0
Esses três vetores são todos não-nulos em V^3.

Passo 7

Vamos verificar se eles são linearmente independentes. Se conseguirmos escrever um vetor como uma combinação dos outros, então são dependentes.
w = u + v
Isso mostra que w pode ser escrito como a soma de u e v, então os vetores são linearmente dependentes.

Passo 8

Como encontramos um conjunto de três vetores não-nulos em V^3 que não formam uma base, isso significa que a afirmação original é falsa.

Resposta

Falso. Por exemplo, os vetores u = 1 0 0, v = 0 1 0 e w = 1 1 0 são não-nulos em V^3, mas não formam uma base porque w pode ser escrito como u + v.

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