Suponhamos fixada uma base ortonormal. Se u=(1,0,1), v=(1,0,0), w=(1,1,0),
(b) determine os vetores b de norma raiz8, sabendo que o ângulo entre b e w mede 60^circ e que w, u, b é linearmente dependente.

Passo 1

Entendendo o problema:
Temos três vetores fixados em uma base ortonormal:
u = (1, 0, 1), v = (1, 0, 0), w = (1, 1, 0)
Precisamos encontrar os vetores que satisfazem três condições:
  1. Norma de :
  2. Ângulo entre e :
  3. Dependência linear: Os vetores são linearmente dependentes.
Para resolver, vamos precisar usar conceitos de normas de vetores, ângulos entre vetores (produto escalar) e dependência linear.

Passo 2

Dependência Linear:
Quando um conjunto de vetores é linearmente dependente, significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Isso implica que b = aw + bu pode ser escrito como:
onde e são escalares.

Passo 3

Expressando b = alpha w + beta u :
Vamos escrever b = alpha (1, 1, 0) + beta (1, 0, 1) = (alpha + beta, alpha, beta) como combinação linear de e :
Substituindo e :

Passo 4

Aplicando a condição da norma:
Sabemos que |b| = raiz(alpha + beta)^2 + alpha^2 + beta^2 = raiz8 . Calculando a norma de (alpha + beta)^2 + alpha^2 + beta^2 = 8 :
alpha^2 + 2alphabeta + beta^2 + alpha^2 + beta^2 = 8
Elevando ambos os lados ao quadrado:
2alpha^2 + 2beta^2 + 2alphabeta = 8 alpha^2 + beta^2 + alphabeta = 4 (Dividindo por 2)
Expandindo:
Simplificando:

Passo 5

Aplicando a condição do ângulo:
Sabemos que o ângulo entre b cdot w = |b| |w| cos(60^circ) e |w| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2 é b cdot w = raiz8 times raiz2 times 0,5 = raiz16 times 0,5 = 4 times 0,5 = 2 . Usando a fórmula do produto escalar:
(alpha + beta)(1) + alpha(1) + beta(0) = alpha + beta + alpha = 2alpha + beta = 2
Calculando 2alpha + beta = 2 Rightarrow beta = 2 - 2alpha :
Como , substituímos:
Calculando o produto escalar :
Portanto:

Passo 6

Substituindo alpha^2 + (2 - 2alpha)^2 + alpha(2 - 2alpha) = 4 na equação da norma:
Temos (2 - 2alpha)^2 = 4 - 8alpha + 4alpha^2 alpha(2 - 2alpha) = 2alpha - 2alpha^2 . Vamos substituir na equação:
alpha^2 + 4 - 8alpha + 4alpha^2 + 2alpha - 2alpha^2 = 4
Calculando cada termo:
(1 + 4 - 2)alpha^2 + (-8 + 2)alpha + 4 = 4 3alpha^2 - 6alpha + 4 = 4
Substituindo:
3alpha^2 - 6alpha = 0 3alpha(alpha - 2) = 0
Somando os termos semelhantes:
Simplificando:

Passo 7

Resolvendo para beta = 2 - 2(0) = 2 :
Temos duas soluções:
  1. beta = 2 - 2(2) = 2 - 4 = -2
Vamos encontrar para cada caso:
  • Caso 1:
  • Caso 2:

Resposta

Os vetores b1 = (2, , 0, , 2) e b2 = (0, , 2, , -2) que satisfazem as condições são:

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