Suponhamos fixada uma base ortonormal. Se
,
(b) determine os vetores
de norma
, sabendo que o ângulo entre
e
mede
e que
é linearmente dependente.
(b) determine os vetores
Passo 1
Entendendo o problema:
Temos três vetores fixados em uma base ortonormal:
Precisamos encontrar os vetores
que satisfazem três condições:
- Norma de
: - Ângulo entre
e : - Dependência linear: Os vetores
são linearmente dependentes.
Para resolver, vamos precisar usar conceitos de normas de vetores, ângulos entre vetores (produto escalar) e dependência linear.
Passo 2
Dependência Linear:
Quando um conjunto de vetores é linearmente dependente, significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Isso implica que
pode ser escrito como:
onde
e
são escalares.
Passo 3
Expressando
:
Vamos escrever
como combinação linear de
e
:
Substituindo
e
:
Passo 4
Aplicando a condição da norma:
Sabemos que
. Calculando a norma de
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo:
Simplificando:
Passo 5
Aplicando a condição do ângulo:
Sabemos que o ângulo entre
e
é
. Usando a fórmula do produto escalar:
Calculando
:
Como
, substituímos:
Calculando o produto escalar
:
Portanto:
Passo 6
Substituindo
na equação da norma:
Temos
. Vamos substituir na equação:
Calculando cada termo:
Substituindo:
Somando os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo para
:
Temos duas soluções:
Vamos encontrar
para cada caso:
- Caso 1:
- Caso 2:
Resposta
Os vetores
que satisfazem as condições são: