Suponhamos fixada uma base ortonormal. Considere os pontos A=(-2,3,1), B=(0,0,1), C=(1,1,-2), P=(2,-1,0) e Q=(-1,2,1).
© determine dois pontos R e S sobre a reta over<=ftrightarrowP Q;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá cinco pontos no espaço com coordenadas específicas e pede para a gente encontrar dois pontos, chamados de e , que estão na reta que passa pelos pontos e . A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente o conceito de reta no espaço e equação paramétrica. Para resolver, vamos precisar das coordenadas de e e entender como descrever qualquer ponto que esteja na reta que une esses dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como definir uma reta no espaço usando a equação paramétrica. Se temos dois pontos x = xp + t(xq - xp) y = yp + t(yq - yp) z = zp + t(zq - zp) e , qualquer ponto na reta pode ser descrito por:
onde é um parâmetro real que pode assumir qualquer valor.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula com os pontos dados no exercício. Primeiro, identifiquemos as coordenadas:
P = (2, -1, 0) e Q = (-1, 2, 1)
Agora, calculemos as diferenças das coordenadas de xq - xp = -1 - 2 = -3 yq - yp = 2 - (-1) = 3 zq - zp = 1 - 0 = 1 e :

Passo 4

Com essas diferenças, a equação paramétrica da reta x = 2 - 3t y = -1 + 3t z = 0 + t fica:
x = 2 - 3t y = -1 + 3t z = t
ou simplificando:

Passo 5

Agora, para encontrar dois pontos e na reta , basta escolhermos dois valores diferentes para o parâmetro . Vamos escolher, por exemplo, e .

Passo 6

Vamos calcular as coordenadas para x = 2 - 3(1) = 2 - 3 = -1 y = -1 + 3(1) = -1 + 3 = 2 z = 1 :
Então, o ponto é .

Passo 7

Agora, para x = 2 - 3(-1) = 2 + 3 = 5 y = -1 + 3(-1) = -1 - 3 = -4 z = -1 :
Então, o ponto é .

Resposta

Os dois pontos na reta são e .

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