Beleza, vamos lá! O exercício nos dá cinco pontos no espaço com coordenadas específicas e pede para a gente encontrar dois pontos, chamados de e , que estão na reta que passa pelos pontos e . A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente o conceito de reta no espaço e equação paramétrica. Para resolver, vamos precisar das coordenadas de e e entender como descrever qualquer ponto que esteja na reta que une esses dois pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como definir uma reta no espaço usando a equação paramétrica. Se temos dois pontos e , qualquer ponto na reta pode ser descrito por:
onde é um parâmetro real que pode assumir qualquer valor.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula com os pontos dados no exercício. Primeiro, identifiquemos as coordenadas:
P = (2, -1, 0) e Q = (-1, 2, 1)
Agora, calculemos as diferenças das coordenadas de xq - xp = -1 - 2 = -3 yq - yp = 2 - (-1) = 3 zq - zp = 1 - 0 = 1 e :
Passo 4
Com essas diferenças, a equação paramétrica da reta x = 2 - 3t y = -1 + 3t z = 0 + t fica:
x = 2 - 3t y = -1 + 3t z = t
ou simplificando:
Passo 5
Agora, para encontrar dois pontos e na reta , basta escolhermos dois valores diferentes para o parâmetro . Vamos escolher, por exemplo, e .
Passo 6
Vamos calcular as coordenadas para x = 2 - 3(1) = 2 - 3 = -1 y = -1 + 3(1) = -1 + 3 = 2 z = 1 :
Então, o ponto é .
Passo 7
Agora, para x = 2 - 3(-1) = 2 + 3 = 5 y = -1 + 3(-1) = -1 - 3 = -4 z = -1 :