Suponhamos fixada uma base ortonormal. Considere os pontos , e .
(e) determine as coordenadas de um ponto da reta tal que o volume do tetraedro seja .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma base ortonormal fixada e cinco pontos no espaço: , , , e . A tarefa aqui é encontrar as coordenadas de um ponto que está na reta que liga e (), de forma que o volume do tetraedro formado por , , e seja .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Geometria Analítica no espaço, especialmente sobre vetores, volume de tetraedros e parametrização de retas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender como encontrar o volume de um tetraedro dado por quatro pontos no espaço. A fórmula para o volume de um tetraedro formado pelos pontos , , e é dada por:
Aqui, , e são vetores que vão de para , para e para , respectivamente. O produto vetorial dá um vetor perpendicular ao plano formado por e , e o produto escalar com nos dá uma medida que, ao ser multiplicada por , resulta no volume do tetraedro.
Passo 3
Agora, como queremos que D = P + t(Q - P) esteja na reta , vamos expressar em termos de um parâmetro. Podemos escrever:
Onde é um número real que determina a posição de na reta. Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que o volume do tetraedro seja .
Passo 4
Vamos calcular os vetores necessários:
AB = B - A = (0 - (-2), 0 - 3, 1 - 1) = (2, -3, 0)
AC = C - A = (1 - (-2), 1 - 3, -2 - 1) = (3, -2, -3)
AD = D - A = (P + t(Q - P)) - A = (P - A) + t(Q - P)
Primeiro, vamos calcular P - A = (2 - (-2), -1 - 3, 0 - 1) = (4, -4, -1) e Q - P = (-1 - 2, 2 - (-1), 1 - 0) = (-3, 3, 1) :
As coordenadas do ponto D = ( 2 - 3 times 411, -1 + 3 times 411, 0 + 411 ) = ( 1411, -1111, 411 ) = ( 1411, -1, 411 ) na reta D = ( 2 - 3 times 1011, -1 + 3 times 1011, 0 + 1011 ) = ( -411, 1911, 1011 ) que tornam o volume do tetraedro D = ( 1411, -1, 411 ) e D = ( -411, 1911, 1011 ) igual a são:
e
Então, existem dois pontos que satisfazem a condição desejada: