Suponhamos fixada uma base ortonormal. Considere os pontos A=(-2,3,1), B=(0,0,1), C=(1,1,-2), P=(2,-1,0) e Q=(-1,2,1).
(e) determine as coordenadas de um ponto D da reta over<=ftrightarrowP Q tal que o volume do tetraedro A B C D seja 1 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma base ortonormal fixada e cinco pontos no espaço: , , , e . A tarefa aqui é encontrar as coordenadas de um ponto que está na reta que liga e ( ), de forma que o volume do tetraedro formado por , , e seja .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Geometria Analítica no espaço, especialmente sobre vetores, volume de tetraedros e parametrização de retas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender como encontrar o volume de um tetraedro dado por quatro pontos no espaço. A fórmula para o volume V = 16 | AB cdot (AC times AD) | de um tetraedro formado pelos pontos , , e é dada por:
Aqui, , e são vetores que vão de para , para e para , respectivamente. O produto vetorial dá um vetor perpendicular ao plano formado por e , e o produto escalar com nos dá uma medida que, ao ser multiplicada por , resulta no volume do tetraedro.

Passo 3

Agora, como queremos que D = P + t(Q - P) esteja na reta , vamos expressar em termos de um parâmetro. Podemos escrever:
Onde é um número real que determina a posição de na reta. Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que o volume do tetraedro seja .

Passo 4

Vamos calcular os vetores necessários:
AB = B - A = (0 - (-2), 0 - 3, 1 - 1) = (2, -3, 0)
AC = C - A = (1 - (-2), 1 - 3, -2 - 1) = (3, -2, -3)
AD = D - A = (P + t(Q - P)) - A = (P - A) + t(Q - P)
Primeiro, vamos calcular P - A = (2 - (-2), -1 - 3, 0 - 1) = (4, -4, -1) e Q - P = (-1 - 2, 2 - (-1), 1 - 0) = (-3, 3, 1) :
AD = (4, -4, -1) + t(-3, 3, 1) = (4 - 3t, -4 + 3t, -1 + t)
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial AC = (3, -2, -3) :
AD = (4 - 3t, -4 + 3t, -1 + t)
AC times AD = i & j & k 3 & -2 & -3 4 - 3t & -4 + 3t & -1 + t
Calculando o produto vetorial:
= i ( (-2)(-1 + t) - (-3)(-4 + 3t) ) - j ( 3(-1 + t) - (-3)(4 - 3t) ) + k ( 3(-4 + 3t) - (-2)(4 - 3t) )
(-2)(-1 + t) - (-3)(-4 + 3t) = 2 - 2t - 12 + 9t = (-10) + 7t
Vamos calcular cada componente:
Para 3(-1 + t) - (-3)(4 - 3t) = -3 + 3t + 12 - 9t = 9 - 6t :
3(-4 + 3t) - (-2)(4 - 3t) = -12 + 9t + 8 - 6t = (-4) + 3t
Para AC times AD = ( -10 + 7t )i - (9 - 6t )j + (-4 + 3t )k :
Para :
Então,

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar AB = (2, -3, 0) :
AC times AD = ( -10 + 7t, -9 + 6t, -4 + 3t )
2(-10 + 7t) + (-3)(-9 + 6t) + 0(-4 + 3t) = (-20 + 14t) + (27 - 18t) + 0 = 7t - 18t + (-20 + 27) = (-11t) + 7 = 7 - 11t
O produto escalar é:

Passo 7

Sabemos que o volume 16 | 7 - 11t | = 12 . Queremos que esse volume seja |7 - 11t| = 3 :
7 - 11t = 3 Rightarrow -11t = 3 - 7 Rightarrow -11t = -4 Rightarrow t = 411
Multiplicando ambos os lados por 6:
7 - 11t = -3 Rightarrow -11t = -3 - 7 Rightarrow -11t = -10 Rightarrow t = 1011
Isso nos dá duas equações:
Vamos resolver cada uma:
Para a primeira:
Para a segunda:

Resposta

As coordenadas do ponto D = ( 2 - 3 times 411, -1 + 3 times 411, 0 + 411 ) = ( 1411, -1111, 411 ) = ( 1411, -1, 411 ) na reta D = ( 2 - 3 times 1011, -1 + 3 times 1011, 0 + 1011 ) = ( -411, 1911, 1011 ) que tornam o volume do tetraedro D = ( 1411, -1, 411 ) e D = ( -411, 1911, 1011 ) igual a são:
e
Então, existem dois pontos que satisfazem a condição desejada:

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