Suponhamos fixada uma base ortonormal. Considere os pontos
,
e
.
(a) escreva a equação da reta
na forma vetorial, paramétrica e simétrica (se possível);
(a) escreva a equação da reta
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para gente escrever a equação da reta que passa pelos pontos
e
. Vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente sobre como encontrar a equação de uma reta em diferentes formas: vetorial, paramétrica e simétrica.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor da reta
. Esse vetor é dado pela diferença das coordenadas de
e
.
Então, vamos calcular o vetor
:
Esse vetor
aponta na direção da reta que liga
e
.
Passo 3
Agora, com o ponto
e o vetor diretor
, podemos escrever a equação vetorial da reta. A forma vetorial é:
Onde
é o vetor posição qualquer ponto da reta,
é o vetor posição do ponto
, e
é um parâmetro real.
Substituindo os valores:
Passo 4
A próxima forma que vamos encontrar é a forma paramétrica da reta. A forma paramétrica separa cada coordenada em função do parâmetro
:
Onde
são as componentes do vetor diretor.
Aplicando os valores:
Ou seja:
Passo 5
Por fim, vamos tentar escrever a equação simétrica da reta, que relaciona as coordenadas
,
e
sem o parâmetro
. A forma simétrica é dada por:
Substituindo os valores que já temos:
Podemos simplificar a equação multiplicando todos os termos por
para ficar mais estético:
Resposta
A equação da reta
é:
-
Forma Vetorial:
-
Forma Paramétrica:
-
Forma Simétrica: