Suponhamos fixada uma base ortonormal. Considere os pontos A=(-2,3,1), B=(0,0,1), C=(1,1,-2), P=(2,-1,0) e Q=(-1,2,1).
(a) escreva a equação da reta over<=ftrightarrowP Q na forma vetorial, paramétrica e simétrica (se possível);

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para gente escrever a equação da reta que passa pelos pontos e . Vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente sobre como encontrar a equação de uma reta em diferentes formas: vetorial, paramétrica e simétrica.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor da reta PQ = Q - P = (-1 - 2, 2 - (-1), 1 - 0) = (-3, 3, 1) . Esse vetor é dado pela diferença das coordenadas de e .
Então, vamos calcular o vetor :
Esse vetor aponta na direção da reta que liga e .

Passo 3

Agora, com o ponto r = P + t cdot PQ e o vetor diretor r = (2, -1, 0) + t cdot (-3, 3, 1) , podemos escrever a equação vetorial da reta. A forma vetorial é:
Onde é o vetor posição qualquer ponto da reta, é o vetor posição do ponto , e é um parâmetro real.
Substituindo os valores:

Passo 4

A próxima forma que vamos encontrar é a forma paramétrica da reta. A forma paramétrica separa cada coordenada em função do parâmetro x = xP + a cdot t :
y = yP + b cdot t
z = zP + c cdot t
x = 2 - 3t
Onde y = -1 + 3t são as componentes do vetor diretor.
Aplicando os valores:
z = 0 + t
x = 2 - 3t, y = -1 + 3t, z = t
Ou seja:

Passo 5

Por fim, vamos tentar escrever a equação simétrica da reta, que relaciona as coordenadas x - xPa = y - yPb = z - zPc , x - 2-3 = y + 13 = z1 e 2 - x3 = y + 13 = z sem o parâmetro . A forma simétrica é dada por:
Substituindo os valores que já temos:
Podemos simplificar a equação multiplicando todos os termos por para ficar mais estético:

Resposta

A equação da reta r = (2, -1, 0) + t cdot (-3, 3, 1) é:
  • Forma Vetorial:
    x = 2 - 3t y = -1 + 3t z = t
  • Forma Paramétrica:
    2 - x3 = y + 13 = z
  • Forma Simétrica:

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