Sejam
. Quais vetores, se é que existem, são:
(a) perpendiculares? Justifique.
(b) paralelos? Justifique.
(a) perpendiculares? Justifique.
(b) paralelos? Justifique.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: Temos três vetores
,
e
. O conteúdo da matéria envolve vetores no espaço, especificamente propriedades de perpendicularidade e paralelismo. Para resolver, precisaremos entender como calcular o produto escalar entre vetores e como verificar se um vetor é múltiplo escalar de outro.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar quais pares de vetores são perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar é calculado multiplicando as componentes correspondentes e somando os resultados.
Passo 3
Calculando o produto escalar entre
e
:
Portanto,
e
não são perpendiculares.
Passo 4
Calculando o produto escalar entre
e
:
Assim,
e
não são perpendiculares.
Passo 5
Calculando o produto escalar entre
e
:
Portanto,
e
também não são perpendiculares.
Passo 6
Agora, vamos verificar quais vetores são paralelos. Dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro, ou seja, se existirem números escalares
e
tais que
ou
.
Passo 7
Verificando se
é múltiplo de
:
Examinando as componentes:
em
e
em
. Para que
seja múltiplo de
, os coeficientes deveriam ser iguais, o que não é o caso. Portanto,
e
não são paralelos.
Passo 8
Verificando se
é múltiplo de
:
Proporção das componentes:
Como todas as proporções são iguais a
, concluímos que
. Portanto,
é paralelo a
.
Resposta
(a) Nenhum par de vetores é perpendicular.
(b) Os vetores
e
são paralelos.