Sejam u = 5i - j + k, v = j - 5k e w = -15i + 3j - 3k. Quais vetores, se é que existem, são:
(a) perpendiculares? Justifique.
(b) paralelos? Justifique.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Temos três vetores , e . O conteúdo da matéria envolve vetores no espaço, especificamente propriedades de perpendicularidade e paralelismo. Para resolver, precisaremos entender como calcular o produto escalar entre vetores e como verificar se um vetor é múltiplo escalar de outro.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar quais pares de vetores são perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar é calculado multiplicando as componentes correspondentes e somando os resultados.

Passo 3

Calculando o produto escalar entre u e v:
Portanto, u e v não são perpendiculares.

Passo 4

Calculando o produto escalar entre u e w:
Assim, u e w não são perpendiculares.

Passo 5

Calculando o produto escalar entre v e w:
Portanto, v e w também não são perpendiculares.

Passo 6

Agora, vamos verificar quais vetores são paralelos. Dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro, ou seja, se existirem números escalares lambda e mu tais que ou .

Passo 7

Verificando se v é múltiplo de u:
Examinando as componentes: em u e em v. Para que v seja múltiplo de u, os coeficientes deveriam ser iguais, o que não é o caso. Portanto, u e v não são paralelos.

Passo 8

Verificando se w é múltiplo de u:
Proporção das componentes:
Como todas as proporções são iguais a , concluímos que . Portanto, w é paralelo a u.

Resposta

(a) Nenhum par de vetores é perpendicular.
(b) Os vetores w e u são paralelos.

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