Julgue em verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) as afirmações abaixo:
( ) Em álgebra linear, uma matriz quadrada A é considerada invertível se, e somente se, seu determinante det(A) é diferente de zero. Isso significa que uma matriz tem uma inversa, se e somente se, não há dependência linear entre suas linhas (ou colunas).

Passo 1

Oi! Vamos dar uma olhada nessa afirmação sobre matrizes e invertibilidade. Basicamente, a questão fala sobre quando uma matriz quadrada pode ser invertida, ou seja, quando existe uma matriz que, multiplicada por , resulta na matriz identidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é determinante, inversibilidade de matrizes e dependência linear entre linhas ou colunas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o determinante de uma matriz. O determinante, representado por , é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada. Ele nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. A regra básica aqui é: se o determinante é diferente de zero ( ), então a matriz é invertível.

Passo 3

Agora, sobre a inversibilidade: uma matriz é invertível se existe outra matriz que, quando multiplicada por ela, dá a matriz identidade. Essa propriedade é super útil em várias áreas da matemática, como na resolução de sistemas lineares.

Passo 4

A parte da dependência linear está relacionada às linhas (ou colunas) da matriz. Se as linhas de uma matriz são linearmente independentes, isso significa que nenhuma linha pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Isso também implica que o determinante da matriz é diferente de zero.

Passo 5

Juntando tudo: se o determinante de não é zero, então a matriz é invertível e suas linhas (ou colunas) são linearmente independentes. E vice-versa, se a matriz é invertível, seu determinante não é zero e as linhas (ou colunas) não têm dependência linear.

Resposta

Verdadeiro (V)

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