Verifique se o vetor é combinação linear de e . Interprete geometricamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se o vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações que represente essa combinação e ver se conseguimos encontrar valores para os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Queremos encontrar escalares e tais que:
Passo 3
Vamos expandir essa equação vetorial componente por componente:
Agora temos um sistema de três equações com duas incógnitas (a e b).
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Podemos começar pela segunda equação para encontrar uma relação entre a e b:
5 = a - 2b Rightarrow a = 5 + 2b
Agora, substituímos a na primeira e terceira equações.
Agora que temos b = -1, substituímos de volta na expressão para a:
a = 5 + 2(-1) = 5 - 2 = 3
Passo 7
Agora, vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
7 = 3(3) + 2(-1) = 9 - 2 = 7
Está tudo certo! Os valores a = 3 e b = -1 resolvem o sistema.
Resposta
Sim, o vetor (3,5,7) é uma combinação linear dos vetores (2,1,3) e (3,-2,2), já que conseguimos encontrar a = 3 e b = -1 que satisfazem a relação. Geometricamente, isso significa que o vetor (3,5,7) está no mesmo plano formado pelos vetores (2,1,3) e (3,-2,2) em R^3.