Verifique se o vetor (3,5,7) in R^3 é combinação linear de (2,1,3) e (3,-2,2). Interprete geometricamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se o vetor (3,5,7) em R^3 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (2,1,3) e (3,-2,2). Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações que represente essa combinação e ver se conseguimos encontrar valores para os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Queremos encontrar escalares a e b tais que:
(3,5,7) = a cdot (2,1,3) + b cdot (3,-2,2)

Passo 3

Vamos expandir essa equação vetorial componente por componente:
3 = 2a + 3b 5 = a - 2b 7 = 3a + 2b
Agora temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( a e b).

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Podemos começar pela segunda equação para encontrar uma relação entre a e b:
5 = a - 2b Rightarrow a = 5 + 2b
Agora, substituímos a na primeira e terceira equações.

Passo 5

Substituindo a = 5 + 2b na primeira equação:
3 = 2(5 + 2b) + 3b Rightarrow 3 = 10 + 4b + 3b Rightarrow 3 = 10 + 7b
7b = 3 - 10 Rightarrow 7b = -7 Rightarrow b = -1

Passo 6

Agora que temos b = -1, substituímos de volta na expressão para a:
a = 5 + 2(-1) = 5 - 2 = 3

Passo 7

Agora, vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
7 = 3(3) + 2(-1) = 9 - 2 = 7
Está tudo certo! Os valores a = 3 e b = -1 resolvem o sistema.

Resposta

Sim, o vetor (3,5,7) é uma combinação linear dos vetores (2,1,3) e (3,-2,2), já que conseguimos encontrar a = 3 e b = -1 que satisfazem a relação. Geometricamente, isso significa que o vetor (3,5,7) está no mesmo plano formado pelos vetores (2,1,3) e (3,-2,2) em R^3.

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