Sejam
e
vetores genéricos do
b) Mostrar que a condição © da definição de produto interno é válida se, e somente se, M é simétrica.
b) Mostrar que a condição © da definição de produto interno é válida se, e somente se, M é simétrica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a condição © da definição de produto interno é válida se, e somente se, a matriz
for simétrica. Primeiro, vamos entender o que isso significa.
Conteúdo da matéria: Produto interno em
.
O que vamos precisar: Conhecer a definição de produto interno, entender o que significa uma matriz ser simétrica, e como esses conceitos se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de produto interno. Em
, um produto interno pode ser definido usando uma matriz
da seguinte forma:
onde
e
.
Passo 3
A matriz
precisa satisfazer três condições para que
seja um produto interno:
a) Linearidade: Linear em ambos os argumentos.
b) Simetria:
.
c) Definida positiva:
para todo
.
No nosso caso, vamos focar na condição (b) e mostrar que ela é válida se e somente se
for simétrica.
Passo 4
Vamos expandir o produto interno:
Passo 5
Agora, para que a condição de simetria
seja válida, precisamos que:
Passo 6
Simplificando, percebemos que para os termos serem iguais, precisamos que:
Isso só é sempre verdadeiro se
.
Passo 7
Em termos de matrizes, isso significa que a matriz
deve ser simétrica, ou seja,
. Portanto, a condição de simetria do produto interno é válida se e somente se
for simétrica.
Resposta
A condição © da definição de produto interno é válida se, e somente se, a matriz
for simétrica.
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e
.
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e
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.