Sejam u=(x1, x2) e v=(y1, y2) vetores genéricos do R^2 e
b) Mostrar que a condição © da definição de produto interno é válida se, e somente se, M é simétrica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a condição © da definição de produto interno é válida se, e somente se, a matriz for simétrica. Primeiro, vamos entender o que isso significa.
Conteúdo da matéria: Produto interno em .
O que vamos precisar: Conhecer a definição de produto interno, entender o que significa uma matriz ser simétrica, e como esses conceitos se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de produto interno. Em lang<= u, v rang<= = u^T M v , um produto interno pode ser definido usando uma matriz da seguinte forma:
onde e .

Passo 3

A matriz precisa satisfazer três condições para que seja um produto interno:
a) Linearidade: Linear em ambos os argumentos.
b) Simetria: .
c) Definida positiva: para todo .
No nosso caso, vamos focar na condição (b) e mostrar que ela é válida se e somente se for simétrica.

Passo 4

Vamos expandir o produto interno:
lang<= u, v rang<= = u^T M v = (x1, x2) m11 & m12 m21 & m22 y1 y2 = m11x1 y1 + m12x1 y2 + m21x2 y1 + m22x2 y2

Passo 5

Agora, para que a condição de simetria m11x1 y1 + m12x1 y2 + m21x2 y1 + m22x2 y2 = m11y1 x1 + m12y1 x2 + m21y2 x1 + m22y2 x2 seja válida, precisamos que:

Passo 6

Simplificando, percebemos que para os termos serem iguais, precisamos que:
m12x1 y2 + m21x2 y1 = m12y1 x2 + m21y2 x1
Isso só é sempre verdadeiro se .

Passo 7

Em termos de matrizes, isso significa que a matriz deve ser simétrica, ou seja, . Portanto, a condição de simetria do produto interno é válida se e somente se for simétrica.

Resposta

A condição © da definição de produto interno é válida se, e somente se, a matriz for simétrica.

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