Sejam e vetores genéricos do
b) Mostrar que a condição © da definição de produto interno é válida se, e somente se, M é simétrica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a condição © da definição de produto interno é válida se, e somente se, a matriz for simétrica. Primeiro, vamos entender o que isso significa.
Conteúdo da matéria: Produto interno em .
O que vamos precisar: Conhecer a definição de produto interno, entender o que significa uma matriz ser simétrica, e como esses conceitos se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de produto interno. Em , um produto interno pode ser definido usando uma matriz da seguinte forma:
onde e .

Passo 3

A matriz precisa satisfazer três condições para que seja um produto interno:
a) Linearidade: Linear em ambos os argumentos.
b) Simetria: .
c) Definida positiva: para todo .
No nosso caso, vamos focar na condição (b) e mostrar que ela é válida se e somente se for simétrica.

Passo 4

Vamos expandir o produto interno:

Passo 5

Agora, para que a condição de simetria seja válida, precisamos que:

Passo 6

Simplificando, percebemos que para os termos serem iguais, precisamos que:
Isso só é sempre verdadeiro se .

Passo 7

Em termos de matrizes, isso significa que a matriz deve ser simétrica, ou seja, . Portanto, a condição de simetria do produto interno é válida se e somente se for simétrica.

Resposta

A condição © da definição de produto interno é válida se, e somente se, a matriz for simétrica.

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