Justifique analiticamente as respostas e represente graficamente com o GeoGebra o lugar geométrico determinado pelas equações do grau nas variáveis , y e z, quando indicado (Observação: Os casos a seguir são soluções da equação geral do grau e representam conjuntos denominados quádricas degeneradas): . Resposta: neste caso, tem-se um plano: o plano (Representar graficamente).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação do segundo grau envolvendo as variáveis , e : . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a figura geométrica que essa equação representa e depois mostrar isso num gráfico usando o GeoGebra. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre quádricas, que são superfícies definidas por equações de segundo grau em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação . Para encontrar o valor de , dividimos os dois lados por 3:
A única solução para essa equação é:
Isso significa que o valor de sempre será zero, independente dos valores de e .

Passo 3

Agora que sabemos que , podemos interpretar isso no espaço tridimensional. Quando uma das coordenadas é fixada, como aqui , isso define um plano. No caso, como está igual a zero, o plano está paralelo ao eixo e ao eixo , e passa pelo ponto onde .

Passo 4

Para visualizar isso, podemos imaginar o plano no espaço 3D. Esse plano corta o eixo e o eixo e se estende infinitamente nessas direções. Não importa quais sejam os valores de e , desde que seja sempre zero.

Passo 5

Finalmente, para representar essa situação no GeoGebra, basta inserir a equação . O GeoGebra vai mostrar o plano que se estende ao longo dos eixos e , confirmando que todos os pontos desse plano satisfazem a equação inicial .

Resposta

A equação representa o plano . Graficamente, é um plano que se estende ao longo dos eixos e no espaço tridimensional.

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Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência): (cilindro parabólico)
Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência): (paraboloide hiperbólico)
Sejam um quadrado cujos lados medem 2 e o ponto médio do lado .
a) Escreva e como combinação linear de e .
Justifique analiticamente as respostas e represente graficamente com o GeoGebra o lugar geométrico determinado pelas equações do grau nas variáveis , y e z, quando indicado (Observação: Os casos a seguir são soluções da equação geral do grau e representam conjuntos denominados quádricas degeneradas): . Resposta: neste caso, tem-se um ponto: a origem .