Sejam A B C D um quadrado cujos lados medem 2 e M o ponto médio do lado B C.
a) Escreva D M e D B como combinação linear de D C e D A.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um quadrado com lados medindo 2 unidades. O ponto é o ponto médio do lado . Precisamos escrever os vetores e como combinações lineares dos vetores e . Para isso, vamos usar coordenadas para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as coordenadas dos pontos no plano cartesiano:
  • Vamos colocar o ponto na origem, então .
  • Como os lados medem 2, o ponto fica em .
  • O ponto fica em .
  • O ponto fica em .
  • Como é o ponto médio de , suas coordenadas são .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores e :

Passo 4

Em seguida, vamos determinar os vetores e :

Passo 5

Queremos expressar DM = a cdot DC + b cdot DA e DB = c cdot DC + d cdot DA como combinações lineares de e . Ou seja, encontrar números e tais que:
e

Passo 6

Vamos substituir os vetores que já encontramos:
Para (2, 1) = a cdot (2, 0) + b cdot (0, 2) = (2a, 2b) :
2a = 2 Rightarrow a = 1
Comparando as componentes:
2b = 1 Rightarrow b = dfrac12
DM = 1 cdot DC + dfrac12 cdot DA
Então:
(2, 2) = c cdot (2, 0) + d cdot (0, 2) = (2c, 2d)
Para 2c = 2 Rightarrow c = 1 :
2d = 2 Rightarrow d = 1
Comparando as componentes:
DB = 1 cdot DC + 1 cdot DA
Então:

Resposta

DM = 1 cdot DC + dfrac12 cdot DA
DB = 1 cdot DC + 1 cdot DA

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