Sejam um quadrado cujos lados medem 2 e o ponto médio do lado .
a) Escreva e como combinação linear de e .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um quadrado com lados medindo 2 unidades. O ponto é o ponto médio do lado . Precisamos escrever os vetores e como combinações lineares dos vetores e . Para isso, vamos usar coordenadas para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as coordenadas dos pontos no plano cartesiano:
  • Vamos colocar o ponto na origem, então .
  • Como os lados medem 2, o ponto fica em .
  • O ponto fica em .
  • O ponto fica em .
  • Como é o ponto médio de , suas coordenadas são .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores e :

Passo 4

Em seguida, vamos determinar os vetores e :

Passo 5

Queremos expressar e como combinações lineares de e . Ou seja, encontrar números e tais que:
e

Passo 6

Vamos substituir os vetores que já encontramos:
Para :
Comparando as componentes:
Então:
Para :
Comparando as componentes:
Então:

Resposta

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Justifique analiticamente as respostas e represente graficamente com o GeoGebra o lugar geométrico determinado pelas equações do grau nas variáveis , y e z, quando indicado (Observação: Os casos a seguir são soluções da equação geral do grau e representam conjuntos denominados quádricas degeneradas): . Resposta: neste caso, tem-se um plano: o plano (Representar graficamente).
Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência): (cilindro parabólico)
Justifique analiticamente as respostas e represente graficamente com o GeoGebra o lugar geométrico determinado pelas equações do grau nas variáveis , y e z, quando indicado (Observação: Os casos a seguir são soluções da equação geral do grau e representam conjuntos denominados quádricas degeneradas): . Resposta: neste caso, tem-se um ponto: a origem .
Siga os passos dados para esboçar as superfícies quádricas dos itens a) até i): Superfície obtida pela interseção entre a semiesfera e o cone .