Sejam um quadrado cujos lados medem 2 e o ponto médio do lado .
a) Escreva e D B como combinação linear de D C e D A.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um quadrado com lados medindo 2 unidades. O ponto é o ponto médio do lado . Precisamos escrever os vetores e como combinações lineares dos vetores e . Para isso, vamos usar coordenadas para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as coordenadas dos pontos no plano cartesiano:
Vamos colocar o ponto na origem, então .
Como os lados medem 2, o ponto fica em .
O ponto fica em .
O ponto fica em .
Como é o ponto médio de , suas coordenadas são .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os vetores e :
Passo 4
Em seguida, vamos determinar os vetores e :
Passo 5
Queremos expressar DM = a cdot DC + b cdot DA e DB = c cdot DC + d cdot DA como combinações lineares de e . Ou seja, encontrar números e tais que:
e
Passo 6
Vamos substituir os vetores que já encontramos:
Para (2, 1) = a cdot (2, 0) + b cdot (0, 2) = (2a, 2b) :