Justifique analiticamente as respostas e represente graficamente com o GeoGebra o lugar geométrico determinado pelas equações do grau nas variáveis , y e z, quando indicado (Observação: Os casos a seguir são soluções da equação geral do grau e representam conjuntos denominados quádricas degeneradas): . Resposta: neste caso, tem-se um ponto: a origem .

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício que fala sobre equações do segundo grau em três variáveis, , e . A missão aqui é analisar a equação e descobrir qual é o lugar geométrico que essa equação representa. Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre quádricas e como elas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação dada: . Essa é uma equação do segundo grau porque todas as variáveis estão elevadas ao quadrado. Em geral, equações desse tipo podem representar diferentes superfícies no espaço, como esferas, elipses, hiperbolóides, etc. Essas superfícies são chamadas de quádricas.

Passo 3

Agora, vamos pensar nos coeficientes das variáveis. Aqui, temos , e , todos com coeficientes positivos. Isso é importante porque, se tivermos somas de termos positivos iguais a zero, o único jeito de isso acontecer é se cada termo for zero individualmente.

Passo 4

Então, para a equação ser verdadeira, precisamos que:
Resolvendo cada uma dessas:

Passo 5

Encontramos que a única solução que satisfaz todas as três condições ao mesmo tempo é , e . Isso significa que o único ponto que está nesse lugar geométrico é a origem do sistema de coordenadas.

Resposta

Neste caso, tem-se um ponto: a origem .

Exercícios relacionados

Sejam um quadrado cujos lados medem 2 e o ponto médio do lado .
a) Escreva e como combinação linear de e .
Justifique analiticamente as respostas e represente graficamente com o GeoGebra o lugar geométrico determinado pelas equações do grau nas variáveis , y e z, quando indicado (Observação: Os casos a seguir são soluções da equação geral do grau e representam conjuntos denominados quádricas degeneradas): . Resposta: neste caso, tem-se um plano: o plano (Representar graficamente).
Siga os passos dados para esboçar as superfícies quádricas dos itens a) até i): Superfície obtida pela interseção entre a semiesfera e o cone .
Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: e) ;