Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência): (paraboloide hiperbólico)

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um exercício sobre parábolas hiperbolicas. A questão pede para a gente transformar a equação dada, , na forma canônica, identificar que tipo de superfície é essa e desenhar o gráfico usando um aplicativo como o GeoGebra. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre formas canônicas de quadricas e como identificá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação original: . A gente quer colocá-la na forma canônica, que basicamente é uma forma simplificada que facilita a identificação da superfície geométrica.

Passo 3

A forma geral das parabolóides hiperbólicos é:
Onde e são constantes que determinam a “abertura” da parábola em cada direção.

Passo 4

Vamos comparar a equação dada com a forma geral. Nossa equação é . Podemos reescrever isso como:
Isso nos mostra que e , então e .

Passo 5

Agora que temos a equa��ão na forma canônica, podemos confirmar que é realmente um parabolóide hiperbólico. Essa superfície tem uma sela, ou seja, ela curva para cima em uma direção e para baixo na outra, formando uma forma de sela.

Passo 6

Para desenhar o gráfico no GeoGebra, siga esses passos:
  1. Abra o GeoGebra e selecione a ferramenta de gráfico 3D.
  2. Insira a equação na barra de entrada exatamente como está: .
  3. O GeoGebra vai gerar automaticamente o gráfico do parabolóide hiperbólico para você visualizar.

Resposta

A equação já está na forma canônica , representando um parabolóide hiperbólico. O gráfico dessa superfície pode ser construído usando o GeoGebra inserindo a equação diretamente na ferramenta de gráfico 3D.

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Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência): (elipsoide)
Sejam A e B pontos distintos e seja o ponto médio de AB. Mostre que, se é um ponto qualquer, então: .
Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência): (cilindro parabólico)
Justifique analiticamente as respostas e represente graficamente com o GeoGebra o lugar geométrico determinado pelas equações do grau nas variáveis , y e z, quando indicado (Observação: Os casos a seguir são soluções da equação geral do grau e representam conjuntos denominados quádricas degeneradas): . Resposta: neste caso, tem-se um plano: o plano (Representar graficamente).