Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: e) W=(a, 2 a, 3 a) in R^3 ; a in R;

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício tá pedindo. A gente tem um conjunto e precisa descobrir se esse conjunto é um subespaço vetorial no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos lembrar que para ser um subespaço, três condições precisam ser verdadeiras:
  1. O vetor nulo está no conjunto.
  2. Fechamento pela adição.
  3. Fechamento pela multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se o vetor nulo está em . O vetor nulo em é . Se colocarmos na expressão , temos , que claramente está em . Então, a primeira condição tá satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado pela adição. Isso significa que se você pegar dois vetores qualquer de , a soma deles também deve estar em . Vamos supor que temos e , onde e são reais. A soma , que pode ser reescrita como . Isso mostra que tem a mesma forma de , ou seja, está em . Então, a segunda condição também tá ok.

Passo 4

Por último, vamos checar se o conjunto é fechado pela multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se a gente pega um vetor qualquer de e multiplica por um escalar qualquer, o resultado também deve estar em . Seja e um escalar real. A multiplicação resulta em . Note que isso também está na forma , onde , que é real. Então, está em , satisfazendo a terceira condição.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados