Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: e)
;
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício tá pedindo. A gente tem um conjunto
e precisa descobrir se esse conjunto é um subespaço vetorial no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos lembrar que para ser um subespaço, três condições precisam ser verdadeiras:
- O vetor nulo está no conjunto.
- Fechamento pela adição.
- Fechamento pela multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se o vetor nulo está em
. O vetor nulo em
é
. Se colocarmos
na expressão
, temos
, que claramente está em
. Então, a primeira condição tá satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado pela adição. Isso significa que se você pegar dois vetores qualquer de
, a soma deles também deve estar em
. Vamos supor que temos
e
, onde
e
são reais. A soma
dá
, que pode ser reescrita como
. Isso mostra que
tem a mesma forma de
, ou seja, está em
. Então, a segunda condição também tá ok.
Passo 4
Por último, vamos checar se o conjunto é fechado pela multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se a gente pega um vetor qualquer de
e multiplica por um escalar qualquer, o resultado também deve estar em
. Seja
e
um escalar real. A multiplicação
resulta em
. Note que isso também está na forma
, onde
, que é real. Então,
está em
, satisfazendo a terceira condição.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Siga os passos dados para esboçar as superfícies quádricas dos itens a) até i): Superfície obtida pela interseção entre a semiesfera
e o cone
.
Justifique analiticamente as respostas e represente graficamente com o GeoGebra o lugar geométrico determinado pelas equações do
grau nas variáveis
, y e z, quando indicado (Observação: Os casos a seguir são soluções da equação geral do
grau e representam conjuntos denominados quádricas degeneradas):
. Resposta: neste caso, tem-se um ponto: a origem
.
Justifique analiticamente as respostas e represente graficamente com o GeoGebra o lugar geométrico determinado pelas equações do
grau nas variáveis
, y e z, quando indicado (Observação: Os casos a seguir são soluções da equação geral do
grau e representam conjuntos denominados quádricas degeneradas):
. Resposta: neste caso, tem-se dois planos paralelos:
e
(Representar graficamente).
Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: k) O subconjunto das matrizes simétricas em
;