Siga os passos dados para esboçar as superfícies quádricas dos itens a) até i): Superfície obtida pela interseção entre a semiesfera
e o cone
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas superfícies quádricas:
- Uma semiesfera dada pela equação
. - Um cone dado pela equação
com .
O objetivo é encontrar a superfície de interseção entre essas duas formas. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e entender como superfícies se intersectam no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos igualar as duas equações para encontrar os pontos que pertencem tanto à semiesfera quanto ao cone. Isso significa que
terá o mesmo valor nas duas equações para esses pontos.
Passo 3
Para eliminar as raízes quadradas, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar os termos para isolar os termos com
e
de um lado:
Passo 5
Simplificando a equação dividindo todos os termos por 2:
Passo 6
Essa equação representa um círculo no plano
. Para encontrar o valor de
nesse ponto de interseção, podemos substituir
de volta em uma das equações originais. Vamos usar a do cone:
Passo 7
Então, a superfície de interseção entre a semiesfera e o cone é um círculo de raio
localizado no plano
.
Resposta
A interseção entre a semiesfera
e o cone
é um círculo de raio
situado no plano
.