Siga os passos dados para esboçar as superfícies quádricas dos itens a) até i): Superfície obtida pela interseção entre a semiesfera e o cone .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas superfícies quádricas:
  1. Uma semiesfera dada pela equação .
  2. Um cone dado pela equação com .
O objetivo é encontrar a superfície de interseção entre essas duas formas. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e entender como superfícies se intersectam no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar as duas equações para encontrar os pontos que pertencem tanto à semiesfera quanto ao cone. Isso significa que terá o mesmo valor nas duas equações para esses pontos.

Passo 3

Para eliminar as raízes quadradas, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:

Passo 4

Agora, vamos reorganizar os termos para isolar os termos com e de um lado:

Passo 5

Simplificando a equação dividindo todos os termos por 2:

Passo 6

Essa equação representa um círculo no plano . Para encontrar o valor de nesse ponto de interseção, podemos substituir de volta em uma das equações originais. Vamos usar a do cone:

Passo 7

Então, a superfície de interseção entre a semiesfera e o cone é um círculo de raio localizado no plano .

Resposta

A interseção entre a semiesfera e o cone é um círculo de raio situado no plano .

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Justifique analiticamente as respostas e represente graficamente com o GeoGebra o lugar geométrico determinado pelas equações do grau nas variáveis , y e z, quando indicado (Observação: Os casos a seguir são soluções da equação geral do grau e representam conjuntos denominados quádricas degeneradas): . Resposta: neste caso, tem-se um ponto: a origem .
Sejam um quadrado cujos lados medem 2 e o ponto médio do lado .
a) Escreva e como combinação linear de e .
Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: e) ;
Justifique analiticamente as respostas e represente graficamente com o GeoGebra o lugar geométrico determinado pelas equações do grau nas variáveis , y e z, quando indicado (Observação: Os casos a seguir são soluções da equação geral do grau e representam conjuntos denominados quádricas degeneradas): . Resposta: neste caso, tem-se dois planos paralelos: e (Representar graficamente).