Justifique analiticamente as respostas e represente graficamente com o GeoGebra o lugar geométrico determinado pelas equações do 2^circ grau nas variáveis x, y e z, quando indicado (Observação: Os casos a seguir são soluções da equação geral do 2^circ grau e representam conjuntos denominados quádricas degeneradas): x^2+2 y^2=0. Resposta: neste caso, tem-se uma reta: o eixo dos z (Representar graficamente).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação do segundo grau nas variáveis , e : . O objetivo é justificar analiticamente a resposta e representar graficamente o lugar geométrico dessa equação usando o GeoGebra. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre quádricas degeneradas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação . Observamos que não há termo em , o que sugere que a equação não depende dessa variável. Isso implica que o lugar geométrico será uma figura que se estende ao longo do eixo .

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação x^2 = 0 e 2y^2 = 0 . Para que a soma de quadrados seja igual a zero, cada termo individual deve ser igual a zero. Portanto:

Passo 4

Resolvendo cada equação:
x^2 = 0 implies x = 0
2y^2 = 0 implies y^2 = 0 implies y = 0

Passo 5

Como e , a equação se reduz a podendo assumir qualquer valor real. Isso significa que todos os pontos que satisfazem a equação estão no eixo .

Passo 6

Portanto, o lugar geométrico determinado pela equação é o eixo no espaço tridimensional.

Resposta

O lugar geométrico determinado pela equação é uma reta correspondente ao eixo . Graficamente, no GeoGebra, isso pode ser representado como uma linha vertical ao longo do eixo .

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