Justifique analiticamente as respostas e represente graficamente com o GeoGebra o lugar geométrico determinado pelas equações do grau nas variáveis , y e z, quando indicado (Observação: Os casos a seguir são soluções da equação geral do grau e representam conjuntos denominados quádricas degeneradas): . Resposta: neste caso, tem-se o conjunto vazio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Geometria Analítica, focado em quádricas no espaço tridimensional. A equação dada é do segundo grau nas variáveis , e : . Vamos precisar entender o que cada termo representa e como isso define o lugar geométrico. No final, vamos ver por que esse conjunto é vazio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma quádricade é uma superfície no espaço definida por uma equação do segundo grau. A forma geral dessa equação é:
No nosso caso, a equação é:
Aqui, , , , e . Não temos termos lineares (, , ).
Passo 3
Vamos analisar o que essa equação representa. Queremos saber para quais valores de , e a equação é verdadeira. Vamos tentar isolar os termos:
Observa que os termos à esquerda são quadrados multiplicados por coeficientes positivos (, , ), o que significa que cada um desses termos é sempre maior ou igual a zero (já que quadrado de qualquer número real é não negativo).
Passo 4
Somando esses termos não negativos, a soma também será sempre maior ou igual a zero. Portanto, a equação fica:
Isso nos leva a uma contradição, porque uma soma não negativa nunca pode ser igual a um número negativo como .
Passo 5
Como não existem valores reais de , e que satisfaçam essa equação, concluímos que o lugar geométrico determinado por essa quádricade não existe no espaço real. Em outras palavras, não há pontos que pertençam a essa superfície.