Justifique analiticamente as respostas e represente graficamente com o GeoGebra o lugar geométrico determinado pelas equações do 2^circ grau nas variáveis x, y e z, quando indicado (Observação: Os casos a seguir são soluções da equação geral do 2^circ grau e representam conjuntos denominados quádricas degeneradas): 3 x^2+2 y^2+z^2+3=0. Resposta: neste caso, tem-se o conjunto vazio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Geometria Analítica, focado em quádricas no espaço tridimensional. A equação dada é do segundo grau nas variáveis , e : . Vamos precisar entender o que cada termo representa e como isso define o lugar geométrico. No final, vamos ver por que esse conjunto é vazio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma quádricade é uma superfície no espaço definida por uma equação do segundo grau. A forma geral dessa equação é:
Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0
No nosso caso, a equação é:
3x^2 + 2y^2 + z^2 + 3 = 0
Aqui, , , , e . Não temos termos lineares ( , , ).

Passo 3

Vamos analisar o que essa equação representa. Queremos saber para quais valores de 3x^2 + 2y^2 + z^2 = -3 , e a equação é verdadeira. Vamos tentar isolar os termos:
Observa que os termos à esquerda são quadrados multiplicados por coeficientes positivos ( , , ), o que significa que cada um desses termos é sempre maior ou igual a zero (já que quadrado de qualquer número real é não negativo).

Passo 4

Somando esses termos não negativos, a soma Algo não negativo = -3 também será sempre maior ou igual a zero. Portanto, a equação fica:
ã
Isso nos leva a uma contradição, porque uma soma não negativa nunca pode ser igual a um número negativo como .

Passo 5

Como não existem valores reais de , e que satisfaçam essa equação, concluímos que o lugar geométrico determinado por essa quádricade não existe no espaço real. Em outras palavras, não há pontos que pertençam a essa superfície.

Resposta

Neste caso, tem-se o conjunto vazio.

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