Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: k) O subconjunto das matrizes simétricas em
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A questão pede para verificarmos se o conjunto das matrizes simétricas em
é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a definição de subespaço vetorial e as propriedades que ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja,
. No conjunto
, estamos falando de todas as matrizes quadradas de ordem 3.
Passo 3
Agora, para verificar se o conjunto das matrizes simétricas é um subespaço vetorial, precisamos checar três propriedades fundamentais:
- Existência do vetor zero: O vetor zero do espaço
pertence ao conjunto. - Fechamento na adição: A soma de duas matrizes simétricas também deve ser simétrica.
- Fechamento na multiplicação por escalar: Multiplicar uma matriz simétrica por um escalar resulta em uma matriz simétrica.
Passo 4
1. Vetor zero:
O vetor zero em
é a matriz onde todos os elementos são zero. Essa matriz é simétrica porque sua transposta também será uma matriz de zeros. Portanto, o vetor zero pertence ao conjunto das matrizes simétricas.
Matematicamente:
2. Fechamento na adição:
Sejam
e
duas matrizes simétricas em
. Precisamos mostrar que
também é simétrica.
Sabemos que:
Então,
Isso mostra que
é simétrica.
3. Fechamento na multiplicação por escalar:
Seja
um escalar e
uma matriz simétrica em
. Queremos provar que
também é simétrica.
Sabemos que:
Então,
Portanto,
é simétrica.
Resposta
Todas as três propriedades de subespaço vetorial são satisfeitas, então o conjunto das matrizes simétricas em
é um subespaço vetorial.
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Justifique analiticamente as respostas e represente graficamente com o GeoGebra o lugar geométrico determinado pelas equações do
grau nas variáveis
, y e z, quando indicado (Observação: Os casos a seguir são soluções da equação geral do
grau e representam conjuntos denominados quádricas degeneradas):
. Resposta: neste caso, tem-se dois planos paralelos:
e
(Representar graficamente).
Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: e)
;
Justifique analiticamente as respostas e represente graficamente com o GeoGebra o lugar geométrico determinado pelas equações do
grau nas variáveis
, y e z, quando indicado (Observação: Os casos a seguir são soluções da equação geral do
grau e representam conjuntos denominados quádricas degeneradas):
. Resposta: neste caso, tem-se uma reta: o eixo dos z (Representar graficamente).
Prove que, se
, então
são LD.