Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: k) O subconjunto das matrizes simétricas em ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A questão pede para verificarmos se o conjunto das matrizes simétricas em é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a definição de subespaço vetorial e as propriedades que ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, . No conjunto , estamos falando de todas as matrizes quadradas de ordem 3.

Passo 3

Agora, para verificar se o conjunto das matrizes simétricas é um subespaço vetorial, precisamos checar três propriedades fundamentais:
  1. Existência do vetor zero: O vetor zero do espaço pertence ao conjunto.
  2. Fechamento na adição: A soma de duas matrizes simétricas também deve ser simétrica.
  3. Fechamento na multiplicação por escalar: Multiplicar uma matriz simétrica por um escalar resulta em uma matriz simétrica.

Passo 4

1. Vetor zero:
O vetor zero em é a matriz onde todos os elementos são zero. Essa matriz é simétrica porque sua transposta também será uma matriz de zeros. Portanto, o vetor zero pertence ao conjunto das matrizes simétricas.
Matematicamente:
2. Fechamento na adição:
Sejam e duas matrizes simétricas em . Precisamos mostrar que também é simétrica.
Sabemos que:
Então,
Isso mostra que é simétrica.
3. Fechamento na multiplicação por escalar:
Seja um escalar e uma matriz simétrica em . Queremos provar que também é simétrica.
Sabemos que:
Então,
Portanto, é simétrica.

Resposta

Todas as três propriedades de subespaço vetorial são satisfeitas, então o conjunto das matrizes simétricas em é um subespaço vetorial.

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Justifique analiticamente as respostas e represente graficamente com o GeoGebra o lugar geométrico determinado pelas equações do grau nas variáveis , y e z, quando indicado (Observação: Os casos a seguir são soluções da equação geral do grau e representam conjuntos denominados quádricas degeneradas): . Resposta: neste caso, tem-se dois planos paralelos: e (Representar graficamente).
Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: e) ;
Justifique analiticamente as respostas e represente graficamente com o GeoGebra o lugar geométrico determinado pelas equações do grau nas variáveis , y e z, quando indicado (Observação: Os casos a seguir são soluções da equação geral do grau e representam conjuntos denominados quádricas degeneradas): . Resposta: neste caso, tem-se uma reta: o eixo dos z (Representar graficamente).
Prove que, se , então são LD.