Prove que, se , então são LD.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos dois vetores cruzados iguais:
e
Nosso objetivo é provar que os vetores e são linearmente dependentes (LD).
Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e como os produtos vetoriais ( ) se relacionam com essa propriedade.

Passo 2

Conceito de Dependência Linear:
Dois vetores e são chamados de linearmente dependentes se existir um escalar tal que:
Isso significa que um vetor pode ser obtido multiplicando o outro por um número real.

Passo 3

Entendendo o Produto Vetorial ( ):
O produto vetorial de dois vetores e , denotado por , resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais, com magnitude igual à área do paralelogramo formado por e .
Se , isso indica que os vetores e são paralelos, ou seja, linearmente dependentes.

Passo 4

Aplicando as Igualdades Dadas:
Temos duas igualdades:
Vamos subtrair a segunda igualdade da primeira:
Usando a propriedade distributiva do produto vetorial:
Rearranjando os termos:

Passo 5

Fatorando :
Vamos isolar dos dois lados:
Fatorando :

Passo 6

Conclusão sobre a Dependência Linear:
O produto vetorial de dois vetores é zero se e somente se os vetores são paralelos, ou seja, linearmente dependentes. Portanto, temos:
Isso implica que e são vetores paralelos, ou seja, linearmente dependentes.

Resposta

Portanto, demonstramos que e são vetores linearmente dependentes.

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