Prove que, se
, então
são LD.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos dois vetores cruzados iguais:
e
Nosso objetivo é provar que os vetores
e
são linearmente dependentes (LD).
Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e como os produtos vetoriais (
) se relacionam com essa propriedade.
Passo 2
Conceito de Dependência Linear:
Dois vetores
e
são chamados de linearmente dependentes se existir um escalar
tal que:
Isso significa que um vetor pode ser obtido multiplicando o outro por um número real.
Passo 3
Entendendo o Produto Vetorial (
):
O produto vetorial de dois vetores
e
, denotado por
, resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais, com magnitude igual à área do paralelogramo formado por
e
.
Se
, isso indica que os vetores
e
são paralelos, ou seja, linearmente dependentes.
Passo 4
Aplicando as Igualdades Dadas:
Temos duas igualdades:
Vamos subtrair a segunda igualdade da primeira:
Usando a propriedade distributiva do produto vetorial:
Rearranjando os termos:
Passo 5
Fatorando
:
Vamos isolar
dos dois lados:
Fatorando
:
Passo 6
Conclusão sobre a Dependência Linear:
O produto vetorial de dois vetores é zero se e somente se os vetores são paralelos, ou seja, linearmente dependentes. Portanto, temos:
Isso implica que
e
são vetores paralelos, ou seja, linearmente dependentes.
Resposta
Portanto, demonstramos que
e
são vetores linearmente dependentes.
Exercícios relacionados
Justifique analiticamente as respostas e represente graficamente com o GeoGebra o lugar geométrico determinado pelas equações do
grau nas variáveis
, y e z, quando indicado (Observação: Os casos a seguir são soluções da equação geral do
grau e representam conjuntos denominados quádricas degeneradas):
. Resposta: neste caso, tem-se uma reta: o eixo dos z (Representar graficamente).
Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: k) O subconjunto das matrizes simétricas em
;
Justifique analiticamente as respostas e represente graficamente com o GeoGebra o lugar geométrico determinado pelas equações do
grau nas variáveis
, y e z, quando indicado (Observação: Os casos a seguir são soluções da equação geral do
grau e representam conjuntos denominados quádricas degeneradas):
. Resposta: neste caso, tem-se o conjunto vazio.
Mostre que: