Mostre que:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar duas igualdades envolvendo vetores, especificamente a norma e o produto interno (ou ponto) entre eles. Para isso, vamos precisar entender como calcular a norma de uma soma de vetores e como relacionar isso com o produto interno. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos provar a primeira igualdade:
Para isso, vamos expandir o quadrado da norma do vetor .

Passo 3

Lembramos que a norma de um vetor é definida como:
Então, ao quadrado, temos:

Passo 4

Aplicando isso ao vetor :

Passo 5

Agora, vamos distribuir o produto interno:

Passo 6

Sabemos que o produto interno é comutativo, ou seja, . Então, podemos simplificar:

Passo 7

Lembrando que e , substituímos na expressão:

Passo 8

Pronto! Assim mostramos que:

Passo 9

Agora, vamos provar a segunda igualdade:
Para isso, vamos usar a primeira igualdade que acabamos de demonstrar.

Passo 10

Começamos reorganizando a primeira igualdade:

Passo 11

Isolando :

Passo 12

Dividindo ambos os lados por 2:

Resposta

Assim, mostramos as duas igualdades solicitadas:
1.

Exercícios relacionados

Justifique analiticamente as respostas e represente graficamente com o GeoGebra o lugar geométrico determinado pelas equações do grau nas variáveis , y e z, quando indicado (Observação: Os casos a seguir são soluções da equação geral do grau e representam conjuntos denominados quádricas degeneradas): . Resposta: neste caso, tem-se o conjunto vazio.
Prove que, se , então são LD.
Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência): (superfície esférica)
Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência): (hiperboloide de 1 folha)