Mostre que:
& 1 |u+v|^2=||u|^2+2 u bul<=t v+|| v|^2 & 2 u bul<=t v=12(|| u+v|^2-|| u|^2-|| v |^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar duas igualdades envolvendo vetores, especificamente a norma e o produto interno (ou ponto) entre eles. Para isso, vamos precisar entender como calcular a norma de uma soma de vetores e como relacionar isso com o produto interno. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos provar a primeira igualdade:
|u+v|^2 = |u|^2 + 2, u cdot v + |v|^2
Para isso, vamos expandir o quadrado da norma do vetor .

Passo 3

Lembramos que a norma de um vetor |w| = raizw cdot w é definida como:
|w|^2 = w cdot w
Então, ao quadrado, temos:

Passo 4

Aplicando isso ao vetor |u + v|^2 = (u + v) cdot (u + v) :

Passo 5

Agora, vamos distribuir o produto interno:
(u + v) cdot (u + v) = u cdot u + u cdot v + v cdot u + v cdot v

Passo 6

Sabemos que o produto interno é comutativo, ou seja, u cdot u + 2, u cdot v + v cdot v . Então, podemos simplificar:

Passo 7

Lembrando que |u|^2 + 2, u cdot v + |v|^2 e , substituímos na expressão:

Passo 8

Pronto! Assim mostramos que:
|u+v|^2 = |u|^2 + 2, u cdot v + |v|^2

Passo 9

Agora, vamos provar a segunda igualdade:
u cdot v = 12(|u+v|^2 - |u|^2 - |v|^2)
Para isso, vamos usar a primeira igualdade que acabamos de demonstrar.

Passo 10

Começamos reorganizando a primeira igualdade:
|u+v|^2 = |u|^2 + 2, u cdot v + |v|^2

Passo 11

Isolando 2, u cdot v = |u+v|^2 - |u|^2 - |v|^2 :

Passo 12

Dividindo ambos os lados por 2:
u cdot v = 12(|u+v|^2 - |u|^2 - |v|^2)

Resposta

Assim, mostramos as duas igualdades solicitadas:
1.
|u+v|^2 = |u|^2 + 2, u cdot v + |v|^2
u cdot v = 12(|u+v|^2 - |u|^2 - |v|^2)

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