Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar duas igualdades envolvendo vetores, especificamente a norma e o produto interno (ou ponto) entre eles. Para isso, vamos precisar entender como calcular a norma de uma soma de vetores e como relacionar isso com o produto interno. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos provar a primeira igualdade:
|u+v|^2 = |u|^2 + 2, u cdot v + |v|^2
Para isso, vamos expandir o quadrado da norma do vetor .
Passo 3
Lembramos que a norma de um vetor |w| = raizw cdot w é definida como:
|w|^2 = w cdot w
Então, ao quadrado, temos:
Passo 4
Aplicando isso ao vetor |u + v|^2 = (u + v) cdot (u + v) :
Passo 5
Agora, vamos distribuir o produto interno:
(u + v) cdot (u + v) = u cdot u + u cdot v + v cdot u + v cdot v
Passo 6
Sabemos que o produto interno é comutativo, ou seja, u cdot u + 2, u cdot v + v cdot v . Então, podemos simplificar:
Passo 7
Lembrando que |u|^2 + 2, u cdot v + |v|^2 e , substituímos na expressão:
Passo 8
Pronto! Assim mostramos que:
|u+v|^2 = |u|^2 + 2, u cdot v + |v|^2
Passo 9
Agora, vamos provar a segunda igualdade:
u cdot v = 12(|u+v|^2 - |u|^2 - |v|^2)
Para isso, vamos usar a primeira igualdade que acabamos de demonstrar.
Passo 10
Começamos reorganizando a primeira igualdade:
|u+v|^2 = |u|^2 + 2, u cdot v + |v|^2
Passo 11
Isolando 2, u cdot v = |u+v|^2 - |u|^2 - |v|^2 :
Passo 12
Dividindo ambos os lados por 2:
u cdot v = 12(|u+v|^2 - |u|^2 - |v|^2)
Resposta
Assim, mostramos as duas igualdades solicitadas:
1.