Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar duas igualdades envolvendo vetores, especificamente a norma e o produto interno (ou ponto) entre eles. Para isso, vamos precisar entender como calcular a norma de uma soma de vetores e como relacionar isso com o produto interno. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos provar a primeira igualdade:
Para isso, vamos expandir o quadrado da norma do vetor .
Passo 3
Lembramos que a norma de um vetor é definida como:
Então, ao quadrado, temos:
Passo 4
Aplicando isso ao vetor :
Passo 5
Agora, vamos distribuir o produto interno:
Passo 6
Sabemos que o produto interno é comutativo, ou seja, . Então, podemos simplificar:
Passo 7
Lembrando que e , substituímos na expressão:
Passo 8
Pronto! Assim mostramos que:
Passo 9
Agora, vamos provar a segunda igualdade:
Para isso, vamos usar a primeira igualdade que acabamos de demonstrar.
Passo 10
Começamos reorganizando a primeira igualdade:
Passo 11
Isolando :
Passo 12
Dividindo ambos os lados por 2:
Resposta
Assim, mostramos as duas igualdades solicitadas:
1.